---

Step * 2 1 2 1 1 2 2 1 of Lemma weak-Markov-principle-alt


1. a : ℕ ⟶ ℕ
2. b : ℕ ⟶ ℕ
3. ∀c:ℕ ⟶ ℕ. ((¬(a = c ∈ (ℕ ⟶ ℕ))) ∨ (¬(b = c ∈ (ℕ ⟶ ℕ))))
4. ∀c:ℕ ⟶ ℕ. ∃i:ℕ. (((i = 0 ∈ ℤ) ⇒ (¬(a = c ∈ (ℕ ⟶ ℕ)))) ∧ ((¬(i = 0 ∈ ℤ)) ⇒ (¬(b = c ∈ (ℕ ⟶ ℕ)))))
5. F : c:(ℕ ⟶ ℕ) ⟶ ℕ
6. ∀c:ℕ ⟶ ℕ. ((((F c) = 0 ∈ ℤ) ⇒ (¬(a = c ∈ (ℕ ⟶ ℕ)))) ∧ ((¬((F c) = 0 ∈ ℤ)) ⇒ (¬(b = c ∈ (ℕ ⟶ ℕ)))))
7. ∀f:ℕ ⟶ ℕ. ⇃(∃n:ℕ. ∀g:ℕ ⟶ ℕ. ((f = g ∈ (ℕn ⟶ ℕ)) ⇒ ((F f) = (F g) ∈ ℕ)))
8. (F b) = 0 ∈ ℤ
9. ⇃(∃n:ℕ. ∀g:ℕ ⟶ ℕ. ((b = g ∈ (ℕn ⟶ ℕ)) ⇒ (0 = (F g) ∈ ℕ)))
10. ↓∃n:ℕ. (¬(b = a ∈ (ℕn ⟶ ℕ)))
11. ↓∃k:ℕ. (¬((a k) = (b k) ∈ ℤ))
12. d : ∀n:ℕ. Dec(¬((a n) = (b n) ∈ ℤ))
⊢ ∃n:ℕ. (¬((a n) = (b n) ∈ ℤ))
BY
{ InstLemma `mu-dec-property` [⌜Unit⌝;⌜λ2_ n.¬((a n) = (b n) ∈ ℤ)⌝;⌜λ_.d⌝]⋅ }

1
.....wf..... 
1. a : ℕ ⟶ ℕ
2. b : ℕ ⟶ ℕ
3. ∀c:ℕ ⟶ ℕ. ((¬(a = c ∈ (ℕ ⟶ ℕ))) ∨ (¬(b = c ∈ (ℕ ⟶ ℕ))))
4. ∀c:ℕ ⟶ ℕ. ∃i:ℕ. (((i = 0 ∈ ℤ) ⇒ (¬(a = c ∈ (ℕ ⟶ ℕ)))) ∧ ((¬(i = 0 ∈ ℤ)) ⇒ (¬(b = c ∈ (ℕ ⟶ ℕ)))))
5. F : c:(ℕ ⟶ ℕ) ⟶ ℕ
6. ∀c:ℕ ⟶ ℕ. ((((F c) = 0 ∈ ℤ) ⇒ (¬(a = c ∈ (ℕ ⟶ ℕ)))) ∧ ((¬((F c) = 0 ∈ ℤ)) ⇒ (¬(b = c ∈ (ℕ ⟶ ℕ)))))
7. ∀f:ℕ ⟶ ℕ. ⇃(∃n:ℕ. ∀g:ℕ ⟶ ℕ. ((f = g ∈ (ℕn ⟶ ℕ)) ⇒ ((F f) = (F g) ∈ ℕ)))
8. (F b) = 0 ∈ ℤ
9. ⇃(∃n:ℕ. ∀g:ℕ ⟶ ℕ. ((b = g ∈ (ℕn ⟶ ℕ)) ⇒ (0 = (F g) ∈ ℕ)))
10. ↓∃n:ℕ. (¬(b = a ∈ (ℕn ⟶ ℕ)))
11. ↓∃k:ℕ. (¬((a k) = (b k) ∈ ℤ))
12. d : ∀n:ℕ. Dec(¬((a n) = (b n) ∈ ℤ))
⊢ Unit ∈ Type

2
.....wf..... 
1. a : ℕ ⟶ ℕ
2. b : ℕ ⟶ ℕ
3. ∀c:ℕ ⟶ ℕ. ((¬(a = c ∈ (ℕ ⟶ ℕ))) ∨ (¬(b = c ∈ (ℕ ⟶ ℕ))))
4. ∀c:ℕ ⟶ ℕ. ∃i:ℕ. (((i = 0 ∈ ℤ) ⇒ (¬(a = c ∈ (ℕ ⟶ ℕ)))) ∧ ((¬(i = 0 ∈ ℤ)) ⇒ (¬(b = c ∈ (ℕ ⟶ ℕ)))))
5. F : c:(ℕ ⟶ ℕ) ⟶ ℕ
6. ∀c:ℕ ⟶ ℕ. ((((F c) = 0 ∈ ℤ) ⇒ (¬(a = c ∈ (ℕ ⟶ ℕ)))) ∧ ((¬((F c) = 0 ∈ ℤ)) ⇒ (¬(b = c ∈ (ℕ ⟶ ℕ)))))
7. ∀f:ℕ ⟶ ℕ. ⇃(∃n:ℕ. ∀g:ℕ ⟶ ℕ. ((f = g ∈ (ℕn ⟶ ℕ)) ⇒ ((F f) = (F g) ∈ ℕ)))
8. (F b) = 0 ∈ ℤ
9. ⇃(∃n:ℕ. ∀g:ℕ ⟶ ℕ. ((b = g ∈ (ℕn ⟶ ℕ)) ⇒ (0 = (F g) ∈ ℕ)))
10. ↓∃n:ℕ. (¬(b = a ∈ (ℕn ⟶ ℕ)))
11. ↓∃k:ℕ. (¬((a k) = (b k) ∈ ℤ))
12. d : ∀n:ℕ. Dec(¬((a n) = (b n) ∈ ℤ))
⊢ λ_,n. (¬((a n) = (b n) ∈ ℤ)) ∈ Unit ⟶ ℕ ⟶ ℙ

3
.....wf..... 
1. a : ℕ ⟶ ℕ
2. b : ℕ ⟶ ℕ
3. ∀c:ℕ ⟶ ℕ. ((¬(a = c ∈ (ℕ ⟶ ℕ))) ∨ (¬(b = c ∈ (ℕ ⟶ ℕ))))
4. ∀c:ℕ ⟶ ℕ. ∃i:ℕ. (((i = 0 ∈ ℤ) ⇒ (¬(a = c ∈ (ℕ ⟶ ℕ)))) ∧ ((¬(i = 0 ∈ ℤ)) ⇒ (¬(b = c ∈ (ℕ ⟶ ℕ)))))
5. F : c:(ℕ ⟶ ℕ) ⟶ ℕ
6. ∀c:ℕ ⟶ ℕ. ((((F c) = 0 ∈ ℤ) ⇒ (¬(a = c ∈ (ℕ ⟶ ℕ)))) ∧ ((¬((F c) = 0 ∈ ℤ)) ⇒ (¬(b = c ∈ (ℕ ⟶ ℕ)))))
7. ∀f:ℕ ⟶ ℕ. ⇃(∃n:ℕ. ∀g:ℕ ⟶ ℕ. ((f = g ∈ (ℕn ⟶ ℕ)) ⇒ ((F f) = (F g) ∈ ℕ)))
8. (F b) = 0 ∈ ℤ
9. ⇃(∃n:ℕ. ∀g:ℕ ⟶ ℕ. ((b = g ∈ (ℕn ⟶ ℕ)) ⇒ (0 = (F g) ∈ ℕ)))
10. ↓∃n:ℕ. (¬(b = a ∈ (ℕn ⟶ ℕ)))
11. ↓∃k:ℕ. (¬((a k) = (b k) ∈ ℤ))
12. d : ∀n:ℕ. Dec(¬((a n) = (b n) ∈ ℤ))
⊢ λ_.d ∈ a@0:Unit ⟶ k:ℕ ⟶ Dec(¬((a k) = (b k) ∈ ℤ))

4
1. a : ℕ ⟶ ℕ
2. b : ℕ ⟶ ℕ
3. ∀c:ℕ ⟶ ℕ. ((¬(a = c ∈ (ℕ ⟶ ℕ))) ∨ (¬(b = c ∈ (ℕ ⟶ ℕ))))
4. ∀c:ℕ ⟶ ℕ. ∃i:ℕ. (((i = 0 ∈ ℤ) ⇒ (¬(a = c ∈ (ℕ ⟶ ℕ)))) ∧ ((¬(i = 0 ∈ ℤ)) ⇒ (¬(b = c ∈ (ℕ ⟶ ℕ)))))
5. F : c:(ℕ ⟶ ℕ) ⟶ ℕ
6. ∀c:ℕ ⟶ ℕ. ((((F c) = 0 ∈ ℤ) ⇒ (¬(a = c ∈ (ℕ ⟶ ℕ)))) ∧ ((¬((F c) = 0 ∈ ℤ)) ⇒ (¬(b = c ∈ (ℕ ⟶ ℕ)))))
7. ∀f:ℕ ⟶ ℕ. ⇃(∃n:ℕ. ∀g:ℕ ⟶ ℕ. ((f = g ∈ (ℕn ⟶ ℕ)) ⇒ ((F f) = (F g) ∈ ℕ)))
8. (F b) = 0 ∈ ℤ
9. ⇃(∃n:ℕ. ∀g:ℕ ⟶ ℕ. ((b = g ∈ (ℕn ⟶ ℕ)) ⇒ (0 = (F g) ∈ ℕ)))
10. ↓∃n:ℕ. (¬(b = a ∈ (ℕn ⟶ ℕ)))
11. ↓∃k:ℕ. (¬((a k) = (b k) ∈ ℤ))
12. d : ∀n:ℕ. Dec(¬((a n) = (b n) ∈ ℤ))
13. ∀a@0:Unit
      ((↓∃k:ℕ. (¬((a k) = (b k) ∈ ℤ)))
      ⇒ {(¬((a mu-dec(λ_.d;a@0)) = (b mu-dec(λ_.d;a@0)) ∈ ℤ)) ∧ (∀i:ℕmu-dec(λ_.d;a@0). (¬¬((a i) = (b i) ∈ ℤ)))})
⊢ ∃n:ℕ. (¬((a n) = (b n) ∈ ℤ))

---

Latex:

---

Latex:

1.  a  :  \mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  \mBbbN{}
2.  b  :  \mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  \mBbbN{}
3.  \mforall{}c:\mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  \mBbbN{}.  ((\mneg{}(a  =  c))  \mvee{}  (\mneg{}(b  =  c)))
4.  \mforall{}c:\mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  \mBbbN{}.  \mexists{}i:\mBbbN{}.  (((i  =  0)  {}\mRightarrow{}  (\mneg{}(a  =  c)))  \mwedge{}  ((\mneg{}(i  =  0))  {}\mRightarrow{}  (\mneg{}(b  =  c))))
5.  F  :  c:(\mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  \mBbbN{})  {}\mrightarrow{}  \mBbbN{}
6.  \mforall{}c:\mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  \mBbbN{}.  ((((F  c)  =  0)  {}\mRightarrow{}  (\mneg{}(a  =  c)))  \mwedge{}  ((\mneg{}((F  c)  =  0))  {}\mRightarrow{}  (\mneg{}(b  =  c))))
7.  \mforall{}f:\mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  \mBbbN{}.  \00D9(\mexists{}n:\mBbbN{}.  \mforall{}g:\mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  \mBbbN{}.  ((f  =  g)  {}\mRightarrow{}  ((F  f)  =  (F  g))))
8.  (F  b)  =  0
9.  \00D9(\mexists{}n:\mBbbN{}.  \mforall{}g:\mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  \mBbbN{}.  ((b  =  g)  {}\mRightarrow{}  (0  =  (F  g))))
10.  \mdownarrow{}\mexists{}n:\mBbbN{}.  (\mneg{}(b  =  a))
11.  \mdownarrow{}\mexists{}k:\mBbbN{}.  (\mneg{}((a  k)  =  (b  k)))
12.  d  :  \mforall{}n:\mBbbN{}.  Dec(\mneg{}((a  n)  =  (b  n)))
\mvdash{}  \mexists{}n:\mBbbN{}.  (\mneg{}((a  n)  =  (b  n)))


By

---

Latex:
InstLemma  `mu-dec-property`  [\mkleeneopen{}Unit\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}\mlambda{}\msubtwo{}$_{}$  n.\mneg{}((a  n)  =  (b  n))\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}\mlambda{}$_\mbackslash{}ff\000C7b}$.d\mkleeneclose{}]\mcdot{}

---

Home Index