---

Step * 2 of Lemma weak-continuity-principle-nat+-int-bool


1. F : (ℕ+ ⟶ ℤ) ⟶ 𝔹
2. f : ℕ+ ⟶ ℤ
3. G : n:ℕ+ ⟶ {g:ℕ+ ⟶ ℤ| f = g ∈ (ℕ+n ⟶ ℤ)} 
4. ⇃(∃n:ℕ
      ∀g:ℕ ⟶ ℤ
        (((λn.(f (n + 1))) = g ∈ (ℕn ⟶ ℤ))
        ⇒ (if F (λn.(f ((n - 1) + 1))) then 1 else 0 fi  = if F (λn.(g (n - 1))) then 1 else 0 fi  ∈ ℕ)))
5. ↓∃n:ℕ. F f = F (G (n + 1))
⊢ ∃n:ℕ+. F f = F (G n)
BY
{ ((Assert mu(λn.F f =b F (G (n + 1))) ∈ ℕ BY
          (SqExRepD THEN InstLemma `mu_wf` [⌜λn.F f =b F (G (n + 1))⌝]⋅ THEN All Reduce THEN Auto))
   THEN D 0 With ⌜mu(λn.F f =b F (G (n + 1))) + 1⌝ 
   THEN Auto
   THEN InstLemma `mu-property` [⌜λn.F f =b F (G (n + 1))⌝]⋅
   THEN All Reduce
   THEN Auto) }

1
1. F : (ℕ+ ⟶ ℤ) ⟶ 𝔹
2. f : ℕ+ ⟶ ℤ
3. G : n:ℕ+ ⟶ {g:ℕ+ ⟶ ℤ| f = g ∈ (ℕ+n ⟶ ℤ)} 
4. ⇃(∃n:ℕ
      ∀g:ℕ ⟶ ℤ
        (((λn.(f (n + 1))) = g ∈ (ℕn ⟶ ℤ))
        ⇒ (if F (λn.(f ((n - 1) + 1))) then 1 else 0 fi  = if F (λn.(g (n - 1))) then 1 else 0 fi  ∈ ℕ)))
5. ∃n:ℕ. F f = F (G (n + 1))
6. mu(λn.F f =b F (G (n + 1))) ∈ ℕ
7. ↑F f =b F (G (mu(λn.F f =b F (G (n + 1))) + 1))
8. ∀[i:ℕ]. ¬↑F f =b F (G (i + 1)) supposing i < mu(λn.F f =b F (G (n + 1)))
⊢ F f = F (G (mu(λn.F f =b F (G (n + 1))) + 1))

---

Latex:

---

Latex:

1.  F  :  (\mBbbN{}\msupplus{}  {}\mrightarrow{}  \mBbbZ{})  {}\mrightarrow{}  \mBbbB{}
2.  f  :  \mBbbN{}\msupplus{}  {}\mrightarrow{}  \mBbbZ{}
3.  G  :  n:\mBbbN{}\msupplus{}  {}\mrightarrow{}  \{g:\mBbbN{}\msupplus{}  {}\mrightarrow{}  \mBbbZ{}|  f  =  g\} 
4.  \00D9(\mexists{}n:\mBbbN{}
            \mforall{}g:\mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  \mBbbZ{}
                (((\mlambda{}n.(f  (n  +  1)))  =  g)
                {}\mRightarrow{}  (if  F  (\mlambda{}n.(f  ((n  -  1)  +  1)))  then  1  else  0  fi 
                      =  if  F  (\mlambda{}n.(g  (n  -  1)))  then  1  else  0  fi  )))
5.  \mdownarrow{}\mexists{}n:\mBbbN{}.  F  f  =  F  (G  (n  +  1))
\mvdash{}  \mexists{}n:\mBbbN{}\msupplus{}.  F  f  =  F  (G  n)


By

---

Latex:
((Assert  mu(\mlambda{}n.F  f  =b  F  (G  (n  +  1)))  \mmember{}  \mBbbN{}  BY
                (SqExRepD  THEN  InstLemma  `mu\_wf`  [\mkleeneopen{}\mlambda{}n.F  f  =b  F  (G  (n  +  1))\mkleeneclose{}]\mcdot{}  THEN  All  Reduce  THEN  Auto))
  THEN  D  0  With  \mkleeneopen{}mu(\mlambda{}n.F  f  =b  F  (G  (n  +  1)))  +  1\mkleeneclose{} 
  THEN  Auto
  THEN  InstLemma  `mu-property`  [\mkleeneopen{}\mlambda{}n.F  f  =b  F  (G  (n  +  1))\mkleeneclose{}]\mcdot{}
  THEN  All  Reduce
  THEN  Auto)

---

Home Index