---

Step * 1 1 1 1 of Lemma count-by-decidable-equiv


1. [A] : Type
2. [E] : A ⟶ A ⟶ ℙ
3. EquivRel(A;x,y.E[x;y])
4. ∀x,y:A.  Dec(E[x;y])
5. k : ℕ
6. A ~ ℕk
7. L : A List
8. (∀a,b∈L.  ¬E[a;b])
9. ∀a:A. (∃b∈L. E[a;b])
10. ||L|| ≤ k
11. (∀a,b∈L.  ¬E[a;b])
12. ∀a:A. (∃b∈L. E[a;b])
13. ∀i:ℕ||L||. ∃n:ℕ. {a:A| E[a;L[i]]}  ~ ℕn
14. f : i:ℕ||L|| ⟶ ℕ
15. ∀i:ℕ||L||. {a:A| E[a;L[i]]}  ~ ℕf i
16. ∀i:ℕ||L||. {a:A| E[a;L[i]]}  ~ ℕf i
17. A ~ i:ℕ||L|| × {a:A| E[a;L[i]]} 
⊢ A ~ i:ℕ||L|| × ℕf i
BY
{ (InstLemma `product_functionality_wrt_equipollent_dependent` [⌜ℕ||L||⌝;⌜ℕ||L||⌝;⌜λ2i.{a:A| E[a;L[i]]} ⌝;⌜λ2i.ℕf i⌝;⌜λx\000C.x⌝]⋅
   THENA (Reduce 0 THEN Auto)
   ) }

1
1. [A] : Type
2. [E] : A ⟶ A ⟶ ℙ
3. EquivRel(A;x,y.E[x;y])
4. ∀x,y:A.  Dec(E[x;y])
5. k : ℕ
6. A ~ ℕk
7. L : A List
8. (∀a,b∈L.  ¬E[a;b])
9. ∀a:A. (∃b∈L. E[a;b])
10. ||L|| ≤ k
11. (∀a,b∈L.  ¬E[a;b])
12. ∀a:A. (∃b∈L. E[a;b])
13. ∀i:ℕ||L||. ∃n:ℕ. {a:A| E[a;L[i]]}  ~ ℕn
14. f : i:ℕ||L|| ⟶ ℕ
15. ∀i:ℕ||L||. {a:A| E[a;L[i]]}  ~ ℕf i
16. ∀i:ℕ||L||. {a:A| E[a;L[i]]}  ~ ℕf i
17. A ~ i:ℕ||L|| × {a:A| E[a;L[i]]} 
18. a:ℕ||L|| × {a@0:A| E[a@0;L[a]]}  ~ b:ℕ||L|| × ℕf b
⊢ A ~ i:ℕ||L|| × ℕf i

---

Latex:

---

Latex:

1.  [A]  :  Type
2.  [E]  :  A  {}\mrightarrow{}  A  {}\mrightarrow{}  \mBbbP{}
3.  EquivRel(A;x,y.E[x;y])
4.  \mforall{}x,y:A.    Dec(E[x;y])
5.  k  :  \mBbbN{}
6.  A  \msim{}  \mBbbN{}k
7.  L  :  A  List
8.  (\mforall{}a,b\mmember{}L.    \mneg{}E[a;b])
9.  \mforall{}a:A.  (\mexists{}b\mmember{}L.  E[a;b])
10.  ||L||  \mleq{}  k
11.  (\mforall{}a,b\mmember{}L.    \mneg{}E[a;b])
12.  \mforall{}a:A.  (\mexists{}b\mmember{}L.  E[a;b])
13.  \mforall{}i:\mBbbN{}||L||.  \mexists{}n:\mBbbN{}.  \{a:A|  E[a;L[i]]\}    \msim{}  \mBbbN{}n
14.  f  :  i:\mBbbN{}||L||  {}\mrightarrow{}  \mBbbN{}
15.  \mforall{}i:\mBbbN{}||L||.  \{a:A|  E[a;L[i]]\}    \msim{}  \mBbbN{}f  i
16.  \mforall{}i:\mBbbN{}||L||.  \{a:A|  E[a;L[i]]\}    \msim{}  \mBbbN{}f  i
17.  A  \msim{}  i:\mBbbN{}||L||  \mtimes{}  \{a:A|  E[a;L[i]]\} 
\mvdash{}  A  \msim{}  i:\mBbbN{}||L||  \mtimes{}  \mBbbN{}f  i


By

---

Latex:
(InstLemma  `product\_functionality\_wrt\_equipollent\_dependent`  [\mkleeneopen{}\mBbbN{}||L||\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}\mBbbN{}||L||\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}\mlambda{}\msubtwo{}i.\{a:A| 
                                                                                                                                                                            E[a;L[i]]\}  \mkleeneclose{};
  \mkleeneopen{}\mlambda{}\msubtwo{}i.\mBbbN{}f  i\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}\mlambda{}x.x\mkleeneclose{}]\mcdot{}
  THENA  (Reduce  0  THEN  Auto)
  )

---

Home Index