---

Step * 1 2 2 1 2 1 1 1 1 of Lemma equipollent-subtract


1. a : ℕ
2. b : ℕ
3. [P] : ℕa ⟶ ℙ
4. {x:ℕa| P[x]}  ~ ℕb
5. ℕb ~ {x:ℕa| P[x]} 
6. tst : ℕa ⟶ 𝔹
7. ∀x:ℕa. (↓P[x] ⇐⇒ ↑(tst x))
8. i : ℕ
9. j : ℕ
10. a = (i + j) ∈ ℤ
11. {a:ℕa| ↓P[a]}  ~ ℕi
12. {a:ℕa| ¬↓P[a]}  ~ ℕj
13. i = b ∈ ℤ
⊢ Bij({x:ℕa| ↓¬P[x]} ;{a:ℕa| ¬↓P[a]} ;λx.x)
BY
{ xxx((RepeatFor 2 (D 0) THEN Reduce 0) THEN Auto)xxx }

1
1. a : ℕ
2. b : ℕ
3. [P] : ℕa ⟶ ℙ
4. {x:ℕa| P[x]}  ~ ℕb
5. ℕb ~ {x:ℕa| P[x]} 
6. tst : ℕa ⟶ 𝔹
7. ∀x:ℕa. (↓P[x] ⇐⇒ ↑(tst x))
8. i : ℕ
9. j : ℕ
10. a = (i + j) ∈ ℤ
11. {a:ℕa| ↓P[a]}  ~ ℕi
12. {a:ℕa| ¬↓P[a]}  ~ ℕj
13. i = b ∈ ℤ
14. b1 : {a:ℕa| ¬↓P[a]} 
⊢ ∃a@0:{x:ℕa| ↓¬P[x]} . (a@0 = b1 ∈ {a:ℕa| ¬↓P[a]} )

---

Latex:

---

Latex:

1.  a  :  \mBbbN{}
2.  b  :  \mBbbN{}
3.  [P]  :  \mBbbN{}a  {}\mrightarrow{}  \mBbbP{}
4.  \{x:\mBbbN{}a|  P[x]\}    \msim{}  \mBbbN{}b
5.  \mBbbN{}b  \msim{}  \{x:\mBbbN{}a|  P[x]\} 
6.  tst  :  \mBbbN{}a  {}\mrightarrow{}  \mBbbB{}
7.  \mforall{}x:\mBbbN{}a.  (\mdownarrow{}P[x]  \mLeftarrow{}{}\mRightarrow{}  \muparrow{}(tst  x))
8.  i  :  \mBbbN{}
9.  j  :  \mBbbN{}
10.  a  =  (i  +  j)
11.  \{a:\mBbbN{}a|  \mdownarrow{}P[a]\}    \msim{}  \mBbbN{}i
12.  \{a:\mBbbN{}a|  \mneg{}\mdownarrow{}P[a]\}    \msim{}  \mBbbN{}j
13.  i  =  b
\mvdash{}  Bij(\{x:\mBbbN{}a|  \mdownarrow{}\mneg{}P[x]\}  ;\{a:\mBbbN{}a|  \mneg{}\mdownarrow{}P[a]\}  ;\mlambda{}x.x)


By

---

Latex:
xxx((RepeatFor  2  (D  0)  THEN  Reduce  0)  THEN  Auto)xxx

---

Home Index