---

Step * 1 3 of Lemma fset-ac-le-distributive-constrained


1. T : Type
2. eq : EqDecider(T)
3. P : fset(T) ⟶ 𝔹
4. ∀x,y:fset(T).  (y ⊆ x ⇒ (↑(P x)) ⇒ (↑(P y)))
5. a : {ac:fset(fset(T))| (↑fset-antichain(eq;ac)) ∧ fset-all(ac;a.P[a])} 
6. b : {ac:fset(fset(T))| (↑fset-antichain(eq;ac)) ∧ fset-all(ac;a.P[a])} 
7. c : {ac:fset(fset(T))| (↑fset-antichain(eq;ac)) ∧ fset-all(ac;a.P[a])} 
8. fset-ac-le(eq;glb(P;a;c);glb(P;a;lub(P;b;c)))
9. x : {ac:fset(fset(T))| (↑fset-antichain(eq;ac)) ∧ fset-all(ac;a.P[a])} 
10. fset-ac-le(eq;glb(P;a;b);x)
11. fset-ac-le(eq;glb(P;a;c);x)
⊢ fset-ac-le(eq;glb(P;a;lub(P;b;c));x)
BY
{ RepeatFor 2 (((FLemma `fset-ac-le-implies` [-2] THENA Auto) THEN Thin (-3))) }

1
1. T : Type
2. eq : EqDecider(T)
3. P : fset(T) ⟶ 𝔹
4. ∀x,y:fset(T).  (y ⊆ x ⇒ (↑(P x)) ⇒ (↑(P y)))
5. a : {ac:fset(fset(T))| (↑fset-antichain(eq;ac)) ∧ fset-all(ac;a.P[a])} 
6. b : {ac:fset(fset(T))| (↑fset-antichain(eq;ac)) ∧ fset-all(ac;a.P[a])} 
7. c : {ac:fset(fset(T))| (↑fset-antichain(eq;ac)) ∧ fset-all(ac;a.P[a])} 
8. fset-ac-le(eq;glb(P;a;c);glb(P;a;lub(P;b;c)))
9. x : {ac:fset(fset(T))| (↑fset-antichain(eq;ac)) ∧ fset-all(ac;a.P[a])} 
10. ∀a1:fset(T). (a1 ∈ glb(P;a;b) ⇒ (¬({y ∈ x | deq-f-subset(eq) y a1} = {} ∈ fset(fset(T)))))
11. ∀a1:fset(T). (a1 ∈ glb(P;a;c) ⇒ (¬({y ∈ x | deq-f-subset(eq) y a1} = {} ∈ fset(fset(T)))))
⊢ fset-ac-le(eq;glb(P;a;lub(P;b;c));x)

---

Latex:

---

Latex:

1.  T  :  Type
2.  eq  :  EqDecider(T)
3.  P  :  fset(T)  {}\mrightarrow{}  \mBbbB{}
4.  \mforall{}x,y:fset(T).    (y  \msubseteq{}  x  {}\mRightarrow{}  (\muparrow{}(P  x))  {}\mRightarrow{}  (\muparrow{}(P  y)))
5.  a  :  \{ac:fset(fset(T))|  (\muparrow{}fset-antichain(eq;ac))  \mwedge{}  fset-all(ac;a.P[a])\} 
6.  b  :  \{ac:fset(fset(T))|  (\muparrow{}fset-antichain(eq;ac))  \mwedge{}  fset-all(ac;a.P[a])\} 
7.  c  :  \{ac:fset(fset(T))|  (\muparrow{}fset-antichain(eq;ac))  \mwedge{}  fset-all(ac;a.P[a])\} 
8.  fset-ac-le(eq;glb(P;a;c);glb(P;a;lub(P;b;c)))
9.  x  :  \{ac:fset(fset(T))|  (\muparrow{}fset-antichain(eq;ac))  \mwedge{}  fset-all(ac;a.P[a])\} 
10.  fset-ac-le(eq;glb(P;a;b);x)
11.  fset-ac-le(eq;glb(P;a;c);x)
\mvdash{}  fset-ac-le(eq;glb(P;a;lub(P;b;c));x)


By

---

Latex:
RepeatFor  2  (((FLemma  `fset-ac-le-implies`  [-2]  THENA  Auto)  THEN  Thin  (-3)))

---

Home Index