---

Step * 1 3 1 of Lemma fset-ac-le-distributive-constrained


1. T : Type
2. eq : EqDecider(T)
3. P : fset(T) ⟶ 𝔹
4. ∀x,y:fset(T).  (y ⊆ x ⇒ (↑(P x)) ⇒ (↑(P y)))
5. a : {ac:fset(fset(T))| (↑fset-antichain(eq;ac)) ∧ fset-all(ac;a.P[a])} 
6. b : {ac:fset(fset(T))| (↑fset-antichain(eq;ac)) ∧ fset-all(ac;a.P[a])} 
7. c : {ac:fset(fset(T))| (↑fset-antichain(eq;ac)) ∧ fset-all(ac;a.P[a])} 
8. fset-ac-le(eq;glb(P;a;c);glb(P;a;lub(P;b;c)))
9. x : {ac:fset(fset(T))| (↑fset-antichain(eq;ac)) ∧ fset-all(ac;a.P[a])} 
10. ∀a1:fset(T). (a1 ∈ glb(P;a;b) ⇒ (¬({y ∈ x | deq-f-subset(eq) y a1} = {} ∈ fset(fset(T)))))
11. ∀a1:fset(T). (a1 ∈ glb(P;a;c) ⇒ (¬({y ∈ x | deq-f-subset(eq) y a1} = {} ∈ fset(fset(T)))))
⊢ fset-ac-le(eq;glb(P;a;lub(P;b;c));x)
BY
{ (Unfolds ``fset-constrained-ac-glb fset-ac-le`` 0
   THEN (InstLemma `fset-all-iff` [⌜fset(T)⌝;⌜deq-fset(eq)⌝]⋅ THENA Auto)
   THEN RWO "-1" 0
   THEN Auto
   THEN Thin (-3)
   THEN (RWO "assert-fset-null" 0 THENA Auto)
   THEN (RWO "member-fset-minimals" (-1) THENA Auto)
   THEN D -1) }

1
1. T : Type
2. eq : EqDecider(T)
3. P : fset(T) ⟶ 𝔹
4. ∀x,y:fset(T).  (y ⊆ x ⇒ (↑(P x)) ⇒ (↑(P y)))
5. a : {ac:fset(fset(T))| (↑fset-antichain(eq;ac)) ∧ fset-all(ac;a.P[a])} 
6. b : {ac:fset(fset(T))| (↑fset-antichain(eq;ac)) ∧ fset-all(ac;a.P[a])} 
7. c : {ac:fset(fset(T))| (↑fset-antichain(eq;ac)) ∧ fset-all(ac;a.P[a])} 
8. fset-ac-le(eq;glb(P;a;c);glb(P;a;lub(P;b;c)))
9. x : {ac:fset(fset(T))| (↑fset-antichain(eq;ac)) ∧ fset-all(ac;a.P[a])} 
10. ∀a1:fset(T). (a1 ∈ glb(P;a;b) ⇒ (¬({y ∈ x | deq-f-subset(eq) y a1} = {} ∈ fset(fset(T)))))
11. ∀a1:fset(T). (a1 ∈ glb(P;a;c) ⇒ (¬({y ∈ x | deq-f-subset(eq) y a1} = {} ∈ fset(fset(T)))))
12. x@0 : fset(T)
13. x@0 ∈ f-union(deq-fset(eq);deq-fset(eq);a;as.λbs.as ⋃ bs"(lub(P;b;c)) s.t. P)
14. fset-all(f-union(deq-fset(eq);deq-fset(eq);a;as.λbs.as ⋃ bs"(lub(P;b;c)) s.t. P);ys.¬b...)
⊢ ¬({y ∈ x | deq-f-subset(eq) y x@0} = {} ∈ fset(fset(T)))

---

Latex:

---

Latex:

1.  T  :  Type
2.  eq  :  EqDecider(T)
3.  P  :  fset(T)  {}\mrightarrow{}  \mBbbB{}
4.  \mforall{}x,y:fset(T).    (y  \msubseteq{}  x  {}\mRightarrow{}  (\muparrow{}(P  x))  {}\mRightarrow{}  (\muparrow{}(P  y)))
5.  a  :  \{ac:fset(fset(T))|  (\muparrow{}fset-antichain(eq;ac))  \mwedge{}  fset-all(ac;a.P[a])\} 
6.  b  :  \{ac:fset(fset(T))|  (\muparrow{}fset-antichain(eq;ac))  \mwedge{}  fset-all(ac;a.P[a])\} 
7.  c  :  \{ac:fset(fset(T))|  (\muparrow{}fset-antichain(eq;ac))  \mwedge{}  fset-all(ac;a.P[a])\} 
8.  fset-ac-le(eq;glb(P;a;c);glb(P;a;lub(P;b;c)))
9.  x  :  \{ac:fset(fset(T))|  (\muparrow{}fset-antichain(eq;ac))  \mwedge{}  fset-all(ac;a.P[a])\} 
10.  \mforall{}a1:fset(T).  (a1  \mmember{}  glb(P;a;b)  {}\mRightarrow{}  (\mneg{}(\{y  \mmember{}  x  |  deq-f-subset(eq)  y  a1\}  =  \{\})))
11.  \mforall{}a1:fset(T).  (a1  \mmember{}  glb(P;a;c)  {}\mRightarrow{}  (\mneg{}(\{y  \mmember{}  x  |  deq-f-subset(eq)  y  a1\}  =  \{\})))
\mvdash{}  fset-ac-le(eq;glb(P;a;lub(P;b;c));x)


By

---

Latex:
(Unfolds  ``fset-constrained-ac-glb  fset-ac-le``  0
  THEN  (InstLemma  `fset-all-iff`  [\mkleeneopen{}fset(T)\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}deq-fset(eq)\mkleeneclose{}]\mcdot{}  THENA  Auto)
  THEN  RWO  "-1"  0
  THEN  Auto
  THEN  Thin  (-3)
  THEN  (RWO  "assert-fset-null"  0  THENA  Auto)
  THEN  (RWO  "member-fset-minimals"  (-1)  THENA  Auto)
  THEN  D  -1)

---

Home Index