---

Step * 1 3 1 1 of Lemma fset-ac-le-distributive-constrained


1. T : Type
2. eq : EqDecider(T)
3. P : fset(T) ⟶ 𝔹
4. ∀x,y:fset(T).  (y ⊆ x ⇒ (↑(P x)) ⇒ (↑(P y)))
5. a : {ac:fset(fset(T))| (↑fset-antichain(eq;ac)) ∧ fset-all(ac;a.P[a])} 
6. b : {ac:fset(fset(T))| (↑fset-antichain(eq;ac)) ∧ fset-all(ac;a.P[a])} 
7. c : {ac:fset(fset(T))| (↑fset-antichain(eq;ac)) ∧ fset-all(ac;a.P[a])} 
8. fset-ac-le(eq;glb(P;a;c);glb(P;a;lub(P;b;c)))
9. x : {ac:fset(fset(T))| (↑fset-antichain(eq;ac)) ∧ fset-all(ac;a.P[a])} 
10. ∀a1:fset(T). (a1 ∈ glb(P;a;b) ⇒ (¬({y ∈ x | deq-f-subset(eq) y a1} = {} ∈ fset(fset(T)))))
11. ∀a1:fset(T). (a1 ∈ glb(P;a;c) ⇒ (¬({y ∈ x | deq-f-subset(eq) y a1} = {} ∈ fset(fset(T)))))
12. x@0 : fset(T)
13. x@0 ∈ f-union(deq-fset(eq);deq-fset(eq);a;as.λbs.as ⋃ bs"(lub(P;b;c)) s.t. P)
14. fset-all(f-union(deq-fset(eq);deq-fset(eq);a;as.λbs.as ⋃ bs"(lub(P;b;c)) s.t. P);ys.¬b...)
⊢ ¬({y ∈ x | deq-f-subset(eq) y x@0} = {} ∈ fset(fset(T)))
BY
{ ((D 0 THENA Auto)
   THEN (RWO "member-f-union" (-3) THENA Auto)
   THEN SqExRepD
   THEN (RWO "member-fset-constrained-image-iff" (-3) THENA Auto)
   THEN (SqExRepD THEN All Reduce)
   THEN (InstLemma `fset-all-iff` [⌜fset(T)⌝;⌜deq-fset(eq)⌝]⋅ THENA Auto)
   THEN (RWO "-1" 19 THENA Complete (Auto))
   THEN Thin (-1)) }

1
1. T : Type
2. eq : EqDecider(T)
3. P : fset(T) ⟶ 𝔹
4. ∀x,y:fset(T).  (y ⊆ x ⇒ (↑(P x)) ⇒ (↑(P y)))
5. a : {ac:fset(fset(T))| (↑fset-antichain(eq;ac)) ∧ fset-all(ac;a.P[a])} 
6. b : {ac:fset(fset(T))| (↑fset-antichain(eq;ac)) ∧ fset-all(ac;a.P[a])} 
7. c : {ac:fset(fset(T))| (↑fset-antichain(eq;ac)) ∧ fset-all(ac;a.P[a])} 
8. fset-ac-le(eq;glb(P;a;c);glb(P;a;lub(P;b;c)))
9. x : {ac:fset(fset(T))| (↑fset-antichain(eq;ac)) ∧ fset-all(ac;a.P[a])} 
10. ∀a1:fset(T). (a1 ∈ glb(P;a;b) ⇒ (¬({y ∈ x | deq-f-subset(eq) y a1} = {} ∈ fset(fset(T)))))
11. ∀a1:fset(T). (a1 ∈ glb(P;a;c) ⇒ (¬({y ∈ x | deq-f-subset(eq) y a1} = {} ∈ fset(fset(T)))))
12. x@0 : fset(T)
13. as : fset(T)
14. as ∈ a
15. x1 : fset(T)
16. x1 ∈ lub(P;b;c)
17. x@0 = as ⋃ x1 ∈ fset(T)
18. ↑(P x@0)
19. ∀[ys:fset(T)]
      ↑¬bf-proper-subset-dec(eq;ys;x@0) 
      supposing ys ∈ f-union(deq-fset(eq);deq-fset(eq);a;as.λbs.as ⋃ bs"(lub(P;b;c)) s.t. P)
20. {y ∈ x | deq-f-subset(eq) y x@0} = {} ∈ fset(fset(T))
⊢ False

---

Latex:

---

Latex:

1.  T  :  Type
2.  eq  :  EqDecider(T)
3.  P  :  fset(T)  {}\mrightarrow{}  \mBbbB{}
4.  \mforall{}x,y:fset(T).    (y  \msubseteq{}  x  {}\mRightarrow{}  (\muparrow{}(P  x))  {}\mRightarrow{}  (\muparrow{}(P  y)))
5.  a  :  \{ac:fset(fset(T))|  (\muparrow{}fset-antichain(eq;ac))  \mwedge{}  fset-all(ac;a.P[a])\} 
6.  b  :  \{ac:fset(fset(T))|  (\muparrow{}fset-antichain(eq;ac))  \mwedge{}  fset-all(ac;a.P[a])\} 
7.  c  :  \{ac:fset(fset(T))|  (\muparrow{}fset-antichain(eq;ac))  \mwedge{}  fset-all(ac;a.P[a])\} 
8.  fset-ac-le(eq;glb(P;a;c);glb(P;a;lub(P;b;c)))
9.  x  :  \{ac:fset(fset(T))|  (\muparrow{}fset-antichain(eq;ac))  \mwedge{}  fset-all(ac;a.P[a])\} 
10.  \mforall{}a1:fset(T).  (a1  \mmember{}  glb(P;a;b)  {}\mRightarrow{}  (\mneg{}(\{y  \mmember{}  x  |  deq-f-subset(eq)  y  a1\}  =  \{\})))
11.  \mforall{}a1:fset(T).  (a1  \mmember{}  glb(P;a;c)  {}\mRightarrow{}  (\mneg{}(\{y  \mmember{}  x  |  deq-f-subset(eq)  y  a1\}  =  \{\})))
12.  x@0  :  fset(T)
13.  x@0  \mmember{}  f-union(deq-fset(eq);deq-fset(eq);a;as.\mlambda{}bs.as  \mcup{}  bs"(lub(P;b;c))  s.t.  P)
14.  fset-all(f-union(deq-fset(eq);deq-fset(eq);a;as.\mlambda{}bs.as  \mcup{}  bs"(lub(P;b;c))  s.t.  P);ys.\mneg{}\msubb{}...)
\mvdash{}  \mneg{}(\{y  \mmember{}  x  |  deq-f-subset(eq)  y  x@0\}  =  \{\})


By

---

Latex:
((D  0  THENA  Auto)
  THEN  (RWO  "member-f-union"  (-3)  THENA  Auto)
  THEN  SqExRepD
  THEN  (RWO  "member-fset-constrained-image-iff"  (-3)  THENA  Auto)
  THEN  (SqExRepD  THEN  All  Reduce)
  THEN  (InstLemma  `fset-all-iff`  [\mkleeneopen{}fset(T)\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}deq-fset(eq)\mkleeneclose{}]\mcdot{}  THENA  Auto)
  THEN  (RWO  "-1"  19  THENA  Complete  (Auto))
  THEN  Thin  (-1))

---

Home Index