---

Step * 3 1 1 1 1 of Lemma fset-ac-le-distributive


1. T : Type
2. eq : EqDecider(T)
3. a : {ac:fset(fset(T))| ↑fset-antichain(eq;ac)} 
4. b : {ac:fset(fset(T))| ↑fset-antichain(eq;ac)} 
5. c : {ac:fset(fset(T))| ↑fset-antichain(eq;ac)} 
6. fset-ac-le(eq;fset-ac-glb(eq;a;c);fset-ac-glb(eq;a;fset-ac-lub(eq;b;c)))
7. x : {ac:fset(fset(T))| ↑fset-antichain(eq;ac)} 
8. ∀a1:fset(T). (a1 ∈ fset-ac-glb(eq;a;b) ⇒ (¬({y ∈ x | deq-f-subset(eq) y a1} = {} ∈ fset(fset(T)))))
9. ∀a1:fset(T). (a1 ∈ fset-ac-glb(eq;a;c) ⇒ (¬({y ∈ x | deq-f-subset(eq) y a1} = {} ∈ fset(fset(T)))))
10. xx : fset(T)
11. as : fset(T)
12. as ∈ a
13. x1 : fset(T)
14. x1 ∈ fset-ac-lub(eq;b;c)
15. xx = as ⋃ x1 ∈ fset(T)
16. ∀[ys:fset(T)]
      ↑¬bf-proper-subset-dec(eq;ys;xx) 
      supposing ys ∈ f-union(deq-fset(eq);deq-fset(eq);a;as.λbs.as ⋃ bs"(fset-ac-lub(eq;b;c)))
17. {y ∈ x | deq-f-subset(eq) y xx} = {} ∈ fset(fset(T))
18. ∀[ys:fset(T)]. ¬ys ⋃ x1 ⊆≠ xx supposing ys ∈ a
⊢ False
BY
{ (DupHyp (-5)
   THEN RepUR ``fset-ac-lub`` (-1)
   THEN (RWO "member-fset-minimals" (-1) THENA Auto)
   THEN D -1
   THEN (RWO "member-fset-union" (-2) THENA Auto)
   THEN (D -2 THENL [RenameVar `bs' (-8); RenameVar `cs' (-8)])) }

1
1. T : Type
2. eq : EqDecider(T)
3. a : {ac:fset(fset(T))| ↑fset-antichain(eq;ac)} 
4. b : {ac:fset(fset(T))| ↑fset-antichain(eq;ac)} 
5. c : {ac:fset(fset(T))| ↑fset-antichain(eq;ac)} 
6. fset-ac-le(eq;fset-ac-glb(eq;a;c);fset-ac-glb(eq;a;fset-ac-lub(eq;b;c)))
7. x : {ac:fset(fset(T))| ↑fset-antichain(eq;ac)} 
8. ∀a1:fset(T). (a1 ∈ fset-ac-glb(eq;a;b) ⇒ (¬({y ∈ x | deq-f-subset(eq) y a1} = {} ∈ fset(fset(T)))))
9. ∀a1:fset(T). (a1 ∈ fset-ac-glb(eq;a;c) ⇒ (¬({y ∈ x | deq-f-subset(eq) y a1} = {} ∈ fset(fset(T)))))
10. xx : fset(T)
11. as : fset(T)
12. as ∈ a
13. bs : fset(T)
14. bs ∈ fset-ac-lub(eq;b;c)
15. xx = as ⋃ bs ∈ fset(T)
16. ∀[ys:fset(T)]
      ↑¬bf-proper-subset-dec(eq;ys;xx) 
      supposing ys ∈ f-union(deq-fset(eq);deq-fset(eq);a;as.λbs.as ⋃ bs"(fset-ac-lub(eq;b;c)))
17. {y ∈ x | deq-f-subset(eq) y xx} = {} ∈ fset(fset(T))
18. ∀[ys:fset(T)]. ¬ys ⋃ bs ⊆≠ xx supposing ys ∈ a
19. bs ∈ b
20. fset-all(b ⋃ c;ys.¬bf-proper-subset-dec(eq;ys;bs))
⊢ False

2
1. T : Type
2. eq : EqDecider(T)
3. a : {ac:fset(fset(T))| ↑fset-antichain(eq;ac)} 
4. b : {ac:fset(fset(T))| ↑fset-antichain(eq;ac)} 
5. c : {ac:fset(fset(T))| ↑fset-antichain(eq;ac)} 
6. fset-ac-le(eq;fset-ac-glb(eq;a;c);fset-ac-glb(eq;a;fset-ac-lub(eq;b;c)))
7. x : {ac:fset(fset(T))| ↑fset-antichain(eq;ac)} 
8. ∀a1:fset(T). (a1 ∈ fset-ac-glb(eq;a;b) ⇒ (¬({y ∈ x | deq-f-subset(eq) y a1} = {} ∈ fset(fset(T)))))
9. ∀a1:fset(T). (a1 ∈ fset-ac-glb(eq;a;c) ⇒ (¬({y ∈ x | deq-f-subset(eq) y a1} = {} ∈ fset(fset(T)))))
10. xx : fset(T)
11. as : fset(T)
12. as ∈ a
13. cs : fset(T)
14. cs ∈ fset-ac-lub(eq;b;c)
15. xx = as ⋃ cs ∈ fset(T)
16. ∀[ys:fset(T)]
      ↑¬bf-proper-subset-dec(eq;ys;xx) 
      supposing ys ∈ f-union(deq-fset(eq);deq-fset(eq);a;as.λbs.as ⋃ bs"(fset-ac-lub(eq;b;c)))
17. {y ∈ x | deq-f-subset(eq) y xx} = {} ∈ fset(fset(T))
18. ∀[ys:fset(T)]. ¬ys ⋃ cs ⊆≠ xx supposing ys ∈ a
19. cs ∈ c
20. fset-all(b ⋃ c;ys.¬bf-proper-subset-dec(eq;ys;cs))
⊢ False

---

Latex:

---

Latex:

1.  T  :  Type
2.  eq  :  EqDecider(T)
3.  a  :  \{ac:fset(fset(T))|  \muparrow{}fset-antichain(eq;ac)\} 
4.  b  :  \{ac:fset(fset(T))|  \muparrow{}fset-antichain(eq;ac)\} 
5.  c  :  \{ac:fset(fset(T))|  \muparrow{}fset-antichain(eq;ac)\} 
6.  fset-ac-le(eq;fset-ac-glb(eq;a;c);fset-ac-glb(eq;a;fset-ac-lub(eq;b;c)))
7.  x  :  \{ac:fset(fset(T))|  \muparrow{}fset-antichain(eq;ac)\} 
8.  \mforall{}a1:fset(T).  (a1  \mmember{}  fset-ac-glb(eq;a;b)  {}\mRightarrow{}  (\mneg{}(\{y  \mmember{}  x  |  deq-f-subset(eq)  y  a1\}  =  \{\})))
9.  \mforall{}a1:fset(T).  (a1  \mmember{}  fset-ac-glb(eq;a;c)  {}\mRightarrow{}  (\mneg{}(\{y  \mmember{}  x  |  deq-f-subset(eq)  y  a1\}  =  \{\})))
10.  xx  :  fset(T)
11.  as  :  fset(T)
12.  as  \mmember{}  a
13.  x1  :  fset(T)
14.  x1  \mmember{}  fset-ac-lub(eq;b;c)
15.  xx  =  as  \mcup{}  x1
16.  \mforall{}[ys:fset(T)]
            \muparrow{}\mneg{}\msubb{}f-proper-subset-dec(eq;ys;xx) 
            supposing  ys  \mmember{}  f-union(deq-fset(eq);deq-fset(eq);a;as.\mlambda{}bs.as  \mcup{}  bs"(fset-ac-lub(eq;b;c)))
17.  \{y  \mmember{}  x  |  deq-f-subset(eq)  y  xx\}  =  \{\}
18.  \mforall{}[ys:fset(T)].  \mneg{}ys  \mcup{}  x1  \msubseteq{}\mneq{}  xx  supposing  ys  \mmember{}  a
\mvdash{}  False


By

---

Latex:
(DupHyp  (-5)
  THEN  RepUR  ``fset-ac-lub``  (-1)
  THEN  (RWO  "member-fset-minimals"  (-1)  THENA  Auto)
  THEN  D  -1
  THEN  (RWO  "member-fset-union"  (-2)  THENA  Auto)
  THEN  (D  -2  THENL  [RenameVar  `bs'  (-8);  RenameVar  `cs'  (-8)]))

---

Home Index