---

Step * 1 1 2 2 2 1 1 1 1 of Lemma fset-closure-exists


1. T : Type
2. eq : EqDecider(T)
3. r : T ⟶ ℕ
4. fs : (T ⟶ T) List
5. (∀f∈fs.∀x:T. ((¬((f x) = x ∈ T)) ⇒ r (f x) < r x))
6. ∀x,y:T.  Dec(x = y ∈ T)
7. n : ℤ
8. 0 < n
9. ∀s:fset(T). ((∀x:T. (x ∈ s ⇒ ((r x) ≤ (n - 1)))) ⇒ (∃c:fset(T). (c = fs closure of s)))
10. s : fset(T)
11. ∀x:T. (x ∈ s ⇒ ((r x) ≤ n))
12. x : T
13. s1 : fset(T)
14. y : T ⟶ T
15. (y ∈ fs)
16. s1 = y"({x ∈ s | (r x =z n) ∧b (¬b(eq (y x) x))}) ∈ fset(T)
17. x ∈ y"({x ∈ s | (r x =z n) ∧b (¬b(eq (y x) x))})
⊢ (r x) ≤ (n - 1)
BY
{ (RWO "member-fset-image-iff" (-1) THENA Auto) }

1
1. T : Type
2. eq : EqDecider(T)
3. r : T ⟶ ℕ
4. fs : (T ⟶ T) List
5. (∀f∈fs.∀x:T. ((¬((f x) = x ∈ T)) ⇒ r (f x) < r x))
6. ∀x,y:T.  Dec(x = y ∈ T)
7. n : ℤ
8. 0 < n
9. ∀s:fset(T). ((∀x:T. (x ∈ s ⇒ ((r x) ≤ (n - 1)))) ⇒ (∃c:fset(T). (c = fs closure of s)))
10. s : fset(T)
11. ∀x:T. (x ∈ s ⇒ ((r x) ≤ n))
12. x : T
13. s1 : fset(T)
14. y : T ⟶ T
15. (y ∈ fs)
16. s1 = y"({x ∈ s | (r x =z n) ∧b (¬b(eq (y x) x))}) ∈ fset(T)
17. ↓∃x1:T. (x1 ∈ {x ∈ s | (r x =z n) ∧b (¬b(eq (y x) x))} ∧ (x = (y x1) ∈ T))
⊢ (r x) ≤ (n - 1)

---

Latex:

---

Latex:

1.  T  :  Type
2.  eq  :  EqDecider(T)
3.  r  :  T  {}\mrightarrow{}  \mBbbN{}
4.  fs  :  (T  {}\mrightarrow{}  T)  List
5.  (\mforall{}f\mmember{}fs.\mforall{}x:T.  ((\mneg{}((f  x)  =  x))  {}\mRightarrow{}  r  (f  x)  <  r  x))
6.  \mforall{}x,y:T.    Dec(x  =  y)
7.  n  :  \mBbbZ{}
8.  0  <  n
9.  \mforall{}s:fset(T).  ((\mforall{}x:T.  (x  \mmember{}  s  {}\mRightarrow{}  ((r  x)  \mleq{}  (n  -  1))))  {}\mRightarrow{}  (\mexists{}c:fset(T).  (c  =  fs  closure  of  s)))
10.  s  :  fset(T)
11.  \mforall{}x:T.  (x  \mmember{}  s  {}\mRightarrow{}  ((r  x)  \mleq{}  n))
12.  x  :  T
13.  s1  :  fset(T)
14.  y  :  T  {}\mrightarrow{}  T
15.  (y  \mmember{}  fs)
16.  s1  =  y"(\{x  \mmember{}  s  |  (r  x  =\msubz{}  n)  \mwedge{}\msubb{}  (\mneg{}\msubb{}(eq  (y  x)  x))\})
17.  x  \mmember{}  y"(\{x  \mmember{}  s  |  (r  x  =\msubz{}  n)  \mwedge{}\msubb{}  (\mneg{}\msubb{}(eq  (y  x)  x))\})
\mvdash{}  (r  x)  \mleq{}  (n  -  1)


By

---

Latex:
(RWO  "member-fset-image-iff"  (-1)  THENA  Auto)

---

Home Index