---

Step * 1 1 2 3 1 1 1 1 of Lemma fset-closure-exists


1. T : Type
2. eq : EqDecider(T)
3. r : T ⟶ ℕ
4. fs : (T ⟶ T) List
5. (∀f∈fs.∀x:T. ((¬((f x) = x ∈ T)) ⇒ r (f x) < r x))
6. ∀x,y:T.  Dec(x = y ∈ T)
7. n : ℤ
8. 0 < n
9. ∀s:fset(T). ((∀x:T. (x ∈ s ⇒ ((r x) ≤ (n - 1)))) ⇒ (∃c:fset(T). (c = fs closure of s)))
10. s : fset(T)
11. ∀x:T. (x ∈ s ⇒ ((r x) ≤ n))
12. c : fset(T)
13. (c = fs closure of {x ∈ s | r x ≤z n - 1} ⋃ fset-list-union(eq;map(λf.f"({x ∈ s | (r x =z n) ∧b (¬b(eq (f x) x))});
                                                                       fs)))
14. f : T ⟶ T
15. (f ∈ fs)
16. x@0 : T
17. x@0 ∈ s
⊢ f x@0 ∈ s ∨ f x@0 ∈ c
BY
{ (RenameVar `x' (-2) THEN (Decide ⌜(f x) = x ∈ T⌝⋅ THENA Auto)) }

1
1. T : Type
2. eq : EqDecider(T)
3. r : T ⟶ ℕ
4. fs : (T ⟶ T) List
5. (∀f∈fs.∀x:T. ((¬((f x) = x ∈ T)) ⇒ r (f x) < r x))
6. ∀x,y:T.  Dec(x = y ∈ T)
7. n : ℤ
8. 0 < n
9. ∀s:fset(T). ((∀x:T. (x ∈ s ⇒ ((r x) ≤ (n - 1)))) ⇒ (∃c:fset(T). (c = fs closure of s)))
10. s : fset(T)
11. ∀x:T. (x ∈ s ⇒ ((r x) ≤ n))
12. c : fset(T)
13. (c = fs closure of {x ∈ s | r x ≤z n - 1} ⋃ fset-list-union(eq;map(λf.f"({x ∈ s | (r x =z n) ∧b (¬b(eq (f x) x))});
                                                                       fs)))
14. f : T ⟶ T
15. (f ∈ fs)
16. x : T
17. x ∈ s
18. (f x) = x ∈ T
⊢ f x ∈ s ∨ f x ∈ c

2
1. T : Type
2. eq : EqDecider(T)
3. r : T ⟶ ℕ
4. fs : (T ⟶ T) List
5. (∀f∈fs.∀x:T. ((¬((f x) = x ∈ T)) ⇒ r (f x) < r x))
6. ∀x,y:T.  Dec(x = y ∈ T)
7. n : ℤ
8. 0 < n
9. ∀s:fset(T). ((∀x:T. (x ∈ s ⇒ ((r x) ≤ (n - 1)))) ⇒ (∃c:fset(T). (c = fs closure of s)))
10. s : fset(T)
11. ∀x:T. (x ∈ s ⇒ ((r x) ≤ n))
12. c : fset(T)
13. (c = fs closure of {x ∈ s | r x ≤z n - 1} ⋃ fset-list-union(eq;map(λf.f"({x ∈ s | (r x =z n) ∧b (¬b(eq (f x) x))});
                                                                       fs)))
14. f : T ⟶ T
15. (f ∈ fs)
16. x : T
17. x ∈ s
18. ¬((f x) = x ∈ T)
⊢ f x ∈ s ∨ f x ∈ c

---

Latex:

---

Latex:

1.  T  :  Type
2.  eq  :  EqDecider(T)
3.  r  :  T  {}\mrightarrow{}  \mBbbN{}
4.  fs  :  (T  {}\mrightarrow{}  T)  List
5.  (\mforall{}f\mmember{}fs.\mforall{}x:T.  ((\mneg{}((f  x)  =  x))  {}\mRightarrow{}  r  (f  x)  <  r  x))
6.  \mforall{}x,y:T.    Dec(x  =  y)
7.  n  :  \mBbbZ{}
8.  0  <  n
9.  \mforall{}s:fset(T).  ((\mforall{}x:T.  (x  \mmember{}  s  {}\mRightarrow{}  ((r  x)  \mleq{}  (n  -  1))))  {}\mRightarrow{}  (\mexists{}c:fset(T).  (c  =  fs  closure  of  s)))
10.  s  :  fset(T)
11.  \mforall{}x:T.  (x  \mmember{}  s  {}\mRightarrow{}  ((r  x)  \mleq{}  n))
12.  c  :  fset(T)
13.  (c  =  fs  closure  of  \{x  \mmember{}  s  |  r  x  \mleq{}z  n  -  1\}  \mcup{}  fset-list-union(eq;map(\mlambda{}f.f"(\{x  \mmember{}  s  |  (r  x  =\msubz{}  n)
                                                                                                                                                    \mwedge{}\msubb{}  (\mneg{}\msubb{}(eq  (f  x)  x))\});
                                                                                                                                              fs)))
14.  f  :  T  {}\mrightarrow{}  T
15.  (f  \mmember{}  fs)
16.  x@0  :  T
17.  x@0  \mmember{}  s
\mvdash{}  f  x@0  \mmember{}  s  \mvee{}  f  x@0  \mmember{}  c


By

---

Latex:
(RenameVar  `x'  (-2)  THEN  (Decide  \mkleeneopen{}(f  x)  =  x\mkleeneclose{}\mcdot{}  THENA  Auto))

---

Home Index