---

Step * 1 1 2 3 1 2 1 2 1 of Lemma fset-closure-exists

.....antecedent..... 
1. T : Type
2. eq : EqDecider(T)
3. r : T ⟶ ℕ
4. fs : (T ⟶ T) List
5. (∀f∈fs.∀x:T. ((¬((f x) = x ∈ T)) ⇒ r (f x) < r x))
6. ∀x,y:T.  Dec(x = y ∈ T)
7. n : ℤ
8. 0 < n
9. ∀s:fset(T). ((∀x:T. (x ∈ s ⇒ ((r x) ≤ (n - 1)))) ⇒ (∃c:fset(T). (c = fs closure of s)))
10. s : fset(T)
11. ∀x:T. (x ∈ s ⇒ ((r x) ≤ n))
12. c : fset(T)
13. {x ∈ s | r x ≤z n - 1} ⋃ fset-list-union(eq;map(λf.f"({x ∈ s | (r x =z n) ∧b (¬b(eq (f x) x))});fs)) ⊆ c
14. (c closed under fs)
15. ∀c':fset(T)
      ({x ∈ s | r x ≤z n - 1} ⋃ fset-list-union(eq;map(λf.f"({x ∈ s | (r x =z n) ∧b (¬b(eq (f x) x))});fs)) ⊆ c'
      ⇒ (c' closed under fs)
      ⇒ c ⊆ c')
16. (s ⋃ c closed under fs)
17. c' : fset(T)
18. s ⊆ c'
19. (c' closed under fs)
20. a : T
21. a ∈ c
⊢ {x ∈ s | r x ≤z n - 1} ⋃ fset-list-union(eq;map(λf.f"({x ∈ s | (r x =z n) ∧b (¬b(eq (f x) x))});fs)) ⊆ c'
BY
{ ((D 0 THEN Auto) THEN (RWO "member-fset-union" (-1) THENA Auto)) }

1
1. T : Type
2. eq : EqDecider(T)
3. r : T ⟶ ℕ
4. fs : (T ⟶ T) List
5. (∀f∈fs.∀x:T. ((¬((f x) = x ∈ T)) ⇒ r (f x) < r x))
6. ∀x,y:T.  Dec(x = y ∈ T)
7. n : ℤ
8. 0 < n
9. ∀s:fset(T). ((∀x:T. (x ∈ s ⇒ ((r x) ≤ (n - 1)))) ⇒ (∃c:fset(T). (c = fs closure of s)))
10. s : fset(T)
11. ∀x:T. (x ∈ s ⇒ ((r x) ≤ n))
12. c : fset(T)
13. {x ∈ s | r x ≤z n - 1} ⋃ fset-list-union(eq;map(λf.f"({x ∈ s | (r x =z n) ∧b (¬b(eq (f x) x))});fs)) ⊆ c
14. (c closed under fs)
15. ∀c':fset(T)
      ({x ∈ s | r x ≤z n - 1} ⋃ fset-list-union(eq;map(λf.f"({x ∈ s | (r x =z n) ∧b (¬b(eq (f x) x))});fs)) ⊆ c'
      ⇒ (c' closed under fs)
      ⇒ c ⊆ c')
16. (s ⋃ c closed under fs)
17. c' : fset(T)
18. s ⊆ c'
19. (c' closed under fs)
20. a : T
21. a ∈ c
22. a1 : T
23. a1 ∈ {x ∈ s | r x ≤z n - 1} ∨ a1 ∈ fset-list-union(eq;map(λf.f"({x ∈ s | (r x =z n) ∧b (¬b(eq (f x) x))});fs))
⊢ a1 ∈ c'

---

Latex:

---

Latex:
.....antecedent..... 
1.  T  :  Type
2.  eq  :  EqDecider(T)
3.  r  :  T  {}\mrightarrow{}  \mBbbN{}
4.  fs  :  (T  {}\mrightarrow{}  T)  List
5.  (\mforall{}f\mmember{}fs.\mforall{}x:T.  ((\mneg{}((f  x)  =  x))  {}\mRightarrow{}  r  (f  x)  <  r  x))
6.  \mforall{}x,y:T.    Dec(x  =  y)
7.  n  :  \mBbbZ{}
8.  0  <  n
9.  \mforall{}s:fset(T).  ((\mforall{}x:T.  (x  \mmember{}  s  {}\mRightarrow{}  ((r  x)  \mleq{}  (n  -  1))))  {}\mRightarrow{}  (\mexists{}c:fset(T).  (c  =  fs  closure  of  s)))
10.  s  :  fset(T)
11.  \mforall{}x:T.  (x  \mmember{}  s  {}\mRightarrow{}  ((r  x)  \mleq{}  n))
12.  c  :  fset(T)
13.  \{x  \mmember{}  s  |  r  x  \mleq{}z  n  -  1\}  \mcup{}  fset-list-union(eq;map(\mlambda{}f.f"(\{x  \mmember{}  s  |  (r  x  =\msubz{}  n)  \mwedge{}\msubb{}  (\mneg{}\msubb{}(eq  (f  x)  x))\});
                                                                                                        fs))  \msubseteq{}  c
14.  (c  closed  under  fs)
15.  \mforall{}c':fset(T)
            (\{x  \mmember{}  s  |  r  x  \mleq{}z  n 
              -  1\}  \mcup{}  fset-list-union(eq;map(\mlambda{}f.f"(\{x  \mmember{}  s  |  (r  x  =\msubz{}  n)  \mwedge{}\msubb{}  (\mneg{}\msubb{}(eq  (f  x)  x))\});fs))  \msubseteq{}  c'
            {}\mRightarrow{}  (c'  closed  under  fs)
            {}\mRightarrow{}  c  \msubseteq{}  c')
16.  (s  \mcup{}  c  closed  under  fs)
17.  c'  :  fset(T)
18.  s  \msubseteq{}  c'
19.  (c'  closed  under  fs)
20.  a  :  T
21.  a  \mmember{}  c
\mvdash{}  \{x  \mmember{}  s  |  r  x  \mleq{}z  n  -  1\}  \mcup{}  fset-list-union(eq;map(\mlambda{}f.f"(\{x  \mmember{}  s  |  (r  x  =\msubz{}  n)  \mwedge{}\msubb{}  (\mneg{}\msubb{}(eq  (f  x)  x))\});
                                                                                                    fs))  \msubseteq{}  c'


By

---

Latex:
((D  0  THEN  Auto)  THEN  (RWO  "member-fset-union"  (-1)  THENA  Auto))

---

Home Index