---

Step * 3 1 1 1 1 1 1 of Lemma fset-constrained-ac-glb-is-glb


1. T : Type
2. eq : EqDecider(T)
3. P : fset(T) ⟶ 𝔹
4. ∀x,y:fset(T).  (y ⊆ x ⇒ (↑(P x)) ⇒ (↑(P y)))
5. ac1 : {ac:fset(fset(T))| (↑fset-antichain(eq;ac)) ∧ fset-all(ac;a.P[a])} 
6. ac2 : {ac:fset(fset(T))| (↑fset-antichain(eq;ac)) ∧ fset-all(ac;a.P[a])} 
7. fset-ac-le(eq;glb(P;ac1;ac2);ac2)
8. ac3 : {ac:fset(fset(T))| (↑fset-antichain(eq;ac)) ∧ fset-all(ac;a.P[a])} 
9. ∀a:fset(T). (a ∈ ac3 ⇒ (↓∃b:fset(T). (b ∈ ac1 ∧ b ⊆ a)))
10. ∀a:fset(T). (a ∈ ac3 ⇒ (↓∃b:fset(T). (b ∈ ac2 ∧ b ⊆ a)))
11. x : fset(T)
12. x ∈ ac3
13. {y ∈ f-union(deq-fset(eq);deq-fset(eq);ac1;as.λbs.as ⋃ bs"(ac2) s.t. P) | deq-f-subset(eq) y x} = {} ∈ fset(fset(T))
14. b1 : fset(T)
15. b1 ∈ ac1
16. b1 ⊆ x
17. b2 : fset(T)
18. b2 ∈ ac2
19. b2 ⊆ x
20. b1 ∈ ac1
⊢ b1 ⋃ b2 ∈ λbs.b1 ⋃ bs"(ac2) s.t. P
BY
{ ((BLemma `member-fset-constrained-image-iff` THEN Auto) THEN Reduce 0 THEN D 0 THEN With ⌜b2⌝ (D 0)⋅ THEN Auto) }

1
1. T : Type
2. eq : EqDecider(T)
3. P : fset(T) ⟶ 𝔹
4. ∀x,y:fset(T).  (y ⊆ x ⇒ (↑(P x)) ⇒ (↑(P y)))
5. ac1 : {ac:fset(fset(T))| (↑fset-antichain(eq;ac)) ∧ fset-all(ac;a.P[a])} 
6. ac2 : {ac:fset(fset(T))| (↑fset-antichain(eq;ac)) ∧ fset-all(ac;a.P[a])} 
7. fset-ac-le(eq;glb(P;ac1;ac2);ac2)
8. ac3 : {ac:fset(fset(T))| (↑fset-antichain(eq;ac)) ∧ fset-all(ac;a.P[a])} 
9. ∀a:fset(T). (a ∈ ac3 ⇒ (↓∃b:fset(T). (b ∈ ac1 ∧ b ⊆ a)))
10. ∀a:fset(T). (a ∈ ac3 ⇒ (↓∃b:fset(T). (b ∈ ac2 ∧ b ⊆ a)))
11. x : fset(T)
12. x ∈ ac3
13. {y ∈ f-union(deq-fset(eq);deq-fset(eq);ac1;as.λbs.as ⋃ bs"(ac2) s.t. P) | deq-f-subset(eq) y x} = {} ∈ fset(fset(T))
14. b1 : fset(T)
15. b1 ∈ ac1
16. b1 ⊆ x
17. b2 : fset(T)
18. b2 ∈ ac2
19. b2 ⊆ x
20. b1 ∈ ac1
21. b2 ∈ ac2
22. b1 ⋃ b2 = b1 ⋃ b2 ∈ fset(T)
⊢ ↑(P b1 ⋃ b2)

---

Latex:

---

Latex:

1.  T  :  Type
2.  eq  :  EqDecider(T)
3.  P  :  fset(T)  {}\mrightarrow{}  \mBbbB{}
4.  \mforall{}x,y:fset(T).    (y  \msubseteq{}  x  {}\mRightarrow{}  (\muparrow{}(P  x))  {}\mRightarrow{}  (\muparrow{}(P  y)))
5.  ac1  :  \{ac:fset(fset(T))|  (\muparrow{}fset-antichain(eq;ac))  \mwedge{}  fset-all(ac;a.P[a])\} 
6.  ac2  :  \{ac:fset(fset(T))|  (\muparrow{}fset-antichain(eq;ac))  \mwedge{}  fset-all(ac;a.P[a])\} 
7.  fset-ac-le(eq;glb(P;ac1;ac2);ac2)
8.  ac3  :  \{ac:fset(fset(T))|  (\muparrow{}fset-antichain(eq;ac))  \mwedge{}  fset-all(ac;a.P[a])\} 
9.  \mforall{}a:fset(T).  (a  \mmember{}  ac3  {}\mRightarrow{}  (\mdownarrow{}\mexists{}b:fset(T).  (b  \mmember{}  ac1  \mwedge{}  b  \msubseteq{}  a)))
10.  \mforall{}a:fset(T).  (a  \mmember{}  ac3  {}\mRightarrow{}  (\mdownarrow{}\mexists{}b:fset(T).  (b  \mmember{}  ac2  \mwedge{}  b  \msubseteq{}  a)))
11.  x  :  fset(T)
12.  x  \mmember{}  ac3
13.  \{y  \mmember{}  f-union(deq-fset(eq);deq-fset(eq);ac1;as.\mlambda{}bs.as  \mcup{}  bs"(ac2)  s.t.  P)  |  deq-f-subset(eq)  y  x\}
=  \{\}
14.  b1  :  fset(T)
15.  b1  \mmember{}  ac1
16.  b1  \msubseteq{}  x
17.  b2  :  fset(T)
18.  b2  \mmember{}  ac2
19.  b2  \msubseteq{}  x
20.  b1  \mmember{}  ac1
\mvdash{}  b1  \mcup{}  b2  \mmember{}  \mlambda{}bs.b1  \mcup{}  bs"(ac2)  s.t.  P


By

---

Latex:
((BLemma  `member-fset-constrained-image-iff`  THEN  Auto)
  THEN  Reduce  0
  THEN  D  0
  THEN  With  \mkleeneopen{}b2\mkleeneclose{}  (D  0)\mcdot{}
  THEN  Auto)

---

Home Index