---

Step * 2 1 1 of Lemma fset-constrained-ac-lub_wf


1. T : Type
2. eq : EqDecider(T)
3. P : fset(T) ⟶ 𝔹
4. ac1 : fset(fset(T))
5. ↑fset-antichain(eq;ac1)
6. fset-all(ac1;a.P a)
7. ac2 : fset(fset(T))
8. ↑fset-antichain(eq;ac2)
9. fset-all(ac2;a.P a)
10. ↑fset-antichain(eq;fset-ac-lub(eq;ac1;ac2))
11. a : fset(T)
12. a ∈ ac1 ⋃ ac2
13. fset-all(ac1 ⋃ ac2;ys.¬bf-proper-subset-dec(eq;ys;a))
⊢ ↑(P a)
BY
{ ((InstLemma `fset-all-iff` [⌜fset(T)⌝;⌜deq-fset(eq)⌝]⋅ THENA Auto)
   THEN (RWO "member-fset-union" (-3) THENA Auto)
   THEN D -3) }

1
1. T : Type
2. eq : EqDecider(T)
3. P : fset(T) ⟶ 𝔹
4. ac1 : fset(fset(T))
5. ↑fset-antichain(eq;ac1)
6. fset-all(ac1;a.P a)
7. ac2 : fset(fset(T))
8. ↑fset-antichain(eq;ac2)
9. fset-all(ac2;a.P a)
10. ↑fset-antichain(eq;fset-ac-lub(eq;ac1;ac2))
11. a : fset(T)
12. a ∈ ac1
13. fset-all(ac1 ⋃ ac2;ys.¬bf-proper-subset-dec(eq;ys;a))
14. ∀[P:fset(T) ⟶ 𝔹]. ∀[s:fset(fset(T))].  uiff(fset-all(s;x.P[x]);∀[x:fset(T)]. ↑P[x] supposing x ∈ s)
⊢ ↑(P a)

2
1. T : Type
2. eq : EqDecider(T)
3. P : fset(T) ⟶ 𝔹
4. ac1 : fset(fset(T))
5. ↑fset-antichain(eq;ac1)
6. fset-all(ac1;a.P a)
7. ac2 : fset(fset(T))
8. ↑fset-antichain(eq;ac2)
9. fset-all(ac2;a.P a)
10. ↑fset-antichain(eq;fset-ac-lub(eq;ac1;ac2))
11. a : fset(T)
12. a ∈ ac2
13. fset-all(ac1 ⋃ ac2;ys.¬bf-proper-subset-dec(eq;ys;a))
14. ∀[P:fset(T) ⟶ 𝔹]. ∀[s:fset(fset(T))].  uiff(fset-all(s;x.P[x]);∀[x:fset(T)]. ↑P[x] supposing x ∈ s)
⊢ ↑(P a)

---

Latex:

---

Latex:

1.  T  :  Type
2.  eq  :  EqDecider(T)
3.  P  :  fset(T)  {}\mrightarrow{}  \mBbbB{}
4.  ac1  :  fset(fset(T))
5.  \muparrow{}fset-antichain(eq;ac1)
6.  fset-all(ac1;a.P  a)
7.  ac2  :  fset(fset(T))
8.  \muparrow{}fset-antichain(eq;ac2)
9.  fset-all(ac2;a.P  a)
10.  \muparrow{}fset-antichain(eq;fset-ac-lub(eq;ac1;ac2))
11.  a  :  fset(T)
12.  a  \mmember{}  ac1  \mcup{}  ac2
13.  fset-all(ac1  \mcup{}  ac2;ys.\mneg{}\msubb{}f-proper-subset-dec(eq;ys;a))
\mvdash{}  \muparrow{}(P  a)


By

---

Latex:
((InstLemma  `fset-all-iff`  [\mkleeneopen{}fset(T)\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}deq-fset(eq)\mkleeneclose{}]\mcdot{}  THENA  Auto)
  THEN  (RWO  "member-fset-union"  (-3)  THENA  Auto)
  THEN  D  -3)

---

Home Index