---

Step * 1 1 1 1 1 of Lemma cWO-induction-extract-sqequal


1. f : Base
2. t : Base
3. G : Base
4. G ~ λf,bar_recursion,n,s. case if (0) < (n)
                                     then if s (n - 1) then inr (λp.let _,_ = p in Ax)  else inl <Ax, Ax> fi 
                                     else (inr (λp.let _,_ = p 
                                                   in Ax) )
                             of inl(r) =>
                             λa.let _,_ = r 
                                in Ax
                             | inr(r) =>
                             λa.(f a (λs1.(bar_recursion (n + 1) (λm.if m=n  then inl a  else (s m)) s1)))
5. s1 : Base
6. n : ℕ+
7. x : Base
⊢ G f fix((G f)) n (λm.if m=n - 1  then inl t  else (x m)) s1 ~ f s1 fix((λF,t. (f t F)))
BY
{ (SqequalSqle
   THEN OneFixpointLeast
   THEN RepeatFor 3 (MoveToConcl (-2))
   THEN MoveToConcl 2
   THEN NatInd (-1)
   THEN (UnivCD THENA Auto)
   THEN (RWO "fun_exp_unroll" 0 THENA Auto)
   THEN Reduce 0
   THEN Try (AutoSplit)) }

1
1. f : Base
2. G : Base
3. G ~ λf,bar_recursion,n,s. case if (0) < (n)
                                     then if s (n - 1) then inr (λp.let _,_ = p in Ax)  else inl <Ax, Ax> fi 
                                     else (inr (λp.let _,_ = p 
                                                   in Ax) )
                             of inl(r) =>
                             λa.let _,_ = r 
                                in Ax
                             | inr(r) =>
                             λa.(f a (λs1.(bar_recursion (n + 1) (λm.if m=n  then inl a  else (s m)) s1)))
4. j : ℤ
5. t : Base
6. s1 : Base
7. n : ℕ+
8. x : Base
⊢ G f ⊥ n (λm.if m=n - 1  then inl t  else (x m)) s1 ≤ f s1 fix((λF,t. (f t F)))

2
1. f : Base
2. G : Base
3. G ~ λf,bar_recursion,n,s. case if (0) < (n)
                                     then if s (n - 1) then inr (λp.let _,_ = p in Ax)  else inl <Ax, Ax> fi 
                                     else (inr (λp.let _,_ = p 
                                                   in Ax) )
                             of inl(r) =>
                             λa.let _,_ = r 
                                in Ax
                             | inr(r) =>
                             λa.(f a (λs1.(bar_recursion (n + 1) (λm.if m=n  then inl a  else (s m)) s1)))
4. j : ℤ
5. j ≠ 0
6. 0 < j
7. ∀t,s1:Base. ∀n:ℕ+. ∀x:Base.
     (G f (G f^j - 1 ⊥) n (λm.if m=n - 1  then inl t  else (x m)) s1 ≤ f s1 fix((λF,t. (f t F))))
8. t : Base
9. s1 : Base
10. n : ℕ+
11. x : Base
⊢ G f (G f (G f^j - 1 ⊥)) n (λm.if m=n - 1  then inl t  else (x m)) s1 ≤ f s1 fix((λF,t. (f t F)))

3
1. f : Base
2. G : Base
3. G ~ λf,bar_recursion,n,s. case if (0) < (n)
                                     then if s (n - 1) then inr (λp.let _,_ = p in Ax)  else inl <Ax, Ax> fi 
                                     else (inr (λp.let _,_ = p 
                                                   in Ax) )
                             of inl(r) =>
                             λa.let _,_ = r 
                                in Ax
                             | inr(r) =>
                             λa.(f a (λs1.(bar_recursion (n + 1) (λm.if m=n  then inl a  else (s m)) s1)))
4. j : ℤ
5. t : Base
6. s1 : Base
7. n : ℕ+
8. x : Base
⊢ f s1 ⊥ ≤ G f fix((G f)) n (λm.if m=n - 1  then inl t  else (x m)) s1

4
1. f : Base
2. G : Base
3. G ~ λf,bar_recursion,n,s. case if (0) < (n)
                                     then if s (n - 1) then inr (λp.let _,_ = p in Ax)  else inl <Ax, Ax> fi 
                                     else (inr (λp.let _,_ = p 
                                                   in Ax) )
                             of inl(r) =>
                             λa.let _,_ = r 
                                in Ax
                             | inr(r) =>
                             λa.(f a (λs1.(bar_recursion (n + 1) (λm.if m=n  then inl a  else (s m)) s1)))
4. j : ℤ
5. j ≠ 0
6. 0 < j
7. ∀t,s1:Base. ∀n:ℕ+. ∀x:Base.  (f s1 (λF,t. (f t F)^j - 1 ⊥) ≤ G f fix((G f)) n (λm.if m=n - 1  then inl t  else (x m))\000C s1)
8. t : Base
9. s1 : Base
10. n : ℕ+
11. x : Base
⊢ f s1 (λt.(f t (λF,t. (f t F)^j - 1 ⊥))) ≤ G f fix((G f)) n (λm.if m=n - 1  then inl t  else (x m)) s1

---

Latex:

---

Latex:

1.  f  :  Base
2.  t  :  Base
3.  G  :  Base
4.  G  \msim{}  \mlambda{}f,bar$_{recursion}$,n,s.  case  if  (0)  <  (n)
                                                                        then  if  s  (n  -  1)
                                                                                  then  inr  (\mlambda{}p.let  $_{}$,$_{\mbackslash{}\000Cff7d$  =  p 
                                                                                                            in  Ax) 
                                                                                  else  inl  <Ax,  Ax>
                                                                                  fi 
                                                                        else  (inr  (\mlambda{}p.let  $_{}$,$_{}\000C$  =  p 
                                                                                                    in  Ax)  )
                                                        of  inl(r)  =>
                                                        \mlambda{}a.let  $_{}$,$_{}$  =  r 
                                                              in  Ax
                                                        |  inr(r)  =>
                                                        \mlambda{}a.(f  a 
                                                                (\mlambda{}s1.(bar$_{recursion}$  (n  +  1)  (\mlambda{}m.if  m=n    then\000C  inl  a    else  (s  m))  s1)))
5.  s1  :  Base
6.  n  :  \mBbbN{}\msupplus{}
7.  x  :  Base
\mvdash{}  G  f  fix((G  f))  n  (\mlambda{}m.if  m=n  -  1    then  inl  t    else  (x  m))  s1  \msim{}  f  s1  fix((\mlambda{}F,t.  (f  t  F)))


By

---

Latex:
(SqequalSqle
  THEN  OneFixpointLeast
  THEN  RepeatFor  3  (MoveToConcl  (-2))
  THEN  MoveToConcl  2
  THEN  NatInd  (-1)
  THEN  (UnivCD  THENA  Auto)
  THEN  (RWO  "fun\_exp\_unroll"  0  THENA  Auto)
  THEN  Reduce  0
  THEN  Try  (AutoSplit))

---

Home Index