---

Step * 1 1 1 2 1 1 of Lemma divide-and-conquer

.....assertion..... 
1. [Q] : a:ℤ ⟶ {a...} ⟶ ℙ
2. s : {2...}
3. ∀a:ℤ. ∀b:{a..a + s-}.  Q[a;b]
4. ∀a,b,c:ℤ.  (Q[a;c] ⇒ Q[a;b]) ∨ (Q[c;b] ⇒ Q[a;b]) supposing a < c ∧ c < b
5. [n] : ℕ
6. ∀[m:ℕn]. ∀a:ℤ. ∀b:{a..a + m-}.  Q[a;b]
7. a : ℤ
8. b : {a..a + n-}
9. ¬b - a < s
10. c : ℤ
11. c = (a + ((b - a) ÷ s)) ∈ ℤ
⊢ a < c ∧ c < b
BY
{ (HypSubst' (-1) 0
   THEN D 0
   THEN Mul ⌜s⌝ 0⋅
   THEN (RW IntNormC 0 THENA Auto)
   THEN (RWO "div_rem_sum2" 0 THENA Auto)
   THEN InstLemma `rem_bounds_1` [⌜(-a) + b⌝;⌜s⌝]⋅
   THEN Auto') }

1
1. Q : a:ℤ ⟶ {a...} ⟶ ℙ
2. s : {2...}
3. ∀a:ℤ. ∀b:{a..a + s-}.  Q[a;b]
4. ∀a,b,c:ℤ.  (Q[a;c] ⇒ Q[a;b]) ∨ (Q[c;b] ⇒ Q[a;b]) supposing a < c ∧ c < b
5. n : ℕ
6. ∀[m:ℕn]. ∀a:ℤ. ∀b:{a..a + m-}.  Q[a;b]
7. a : ℤ
8. b : {a..a + n-}
9. ¬b - a < s
10. c : ℤ
11. c = (a + ((b - a) ÷ s)) ∈ ℤ
12. 0 ≤ ((-a) + b rem s)
13. (-a) + b rem s < s
⊢ a * s < (a * s) + ((((-1) * a) + b) - ((-1) * a) + b rem s)

2
1. Q : a:ℤ ⟶ {a...} ⟶ ℙ
2. s : {2...}
3. ∀a:ℤ. ∀b:{a..a + s-}.  Q[a;b]
4. ∀a,b,c:ℤ.  (Q[a;c] ⇒ Q[a;b]) ∨ (Q[c;b] ⇒ Q[a;b]) supposing a < c ∧ c < b
5. n : ℕ
6. ∀[m:ℕn]. ∀a:ℤ. ∀b:{a..a + m-}.  Q[a;b]
7. a : ℤ
8. b : {a..a + n-}
9. ¬b - a < s
10. c : ℤ
11. c = (a + ((b - a) ÷ s)) ∈ ℤ
12. 0 ≤ ((-a) + b rem s)
13. (-a) + b rem s < s
⊢ (a * s) + ((((-1) * a) + b) - ((-1) * a) + b rem s) < b * s

---

Latex:

---

Latex:
.....assertion..... 
1.  [Q]  :  a:\mBbbZ{}  {}\mrightarrow{}  \{a...\}  {}\mrightarrow{}  \mBbbP{}
2.  s  :  \{2...\}
3.  \mforall{}a:\mBbbZ{}.  \mforall{}b:\{a..a  +  s\msupminus{}\}.    Q[a;b]
4.  \mforall{}a,b,c:\mBbbZ{}.    (Q[a;c]  {}\mRightarrow{}  Q[a;b])  \mvee{}  (Q[c;b]  {}\mRightarrow{}  Q[a;b])  supposing  a  <  c  \mwedge{}  c  <  b
5.  [n]  :  \mBbbN{}
6.  \mforall{}[m:\mBbbN{}n].  \mforall{}a:\mBbbZ{}.  \mforall{}b:\{a..a  +  m\msupminus{}\}.    Q[a;b]
7.  a  :  \mBbbZ{}
8.  b  :  \{a..a  +  n\msupminus{}\}
9.  \mneg{}b  -  a  <  s
10.  c  :  \mBbbZ{}
11.  c  =  (a  +  ((b  -  a)  \mdiv{}  s))
\mvdash{}  a  <  c  \mwedge{}  c  <  b


By

---

Latex:
(HypSubst'  (-1)  0
  THEN  D  0
  THEN  Mul  \mkleeneopen{}s\mkleeneclose{}  0\mcdot{}
  THEN  (RW  IntNormC  0  THENA  Auto)
  THEN  (RWO  "div\_rem\_sum2"  0  THENA  Auto)
  THEN  InstLemma  `rem\_bounds\_1`  [\mkleeneopen{}(-a)  +  b\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}s\mkleeneclose{}]\mcdot{}
  THEN  Auto')

---

Home Index