---

Step * 1 1 1 2 1 1 1 of Lemma divide-and-conquer


1. Q : a:ℤ ⟶ {a...} ⟶ ℙ
2. s : {2...}
3. ∀a:ℤ. ∀b:{a..a + s-}.  Q[a;b]
4. ∀a,b,c:ℤ.  (Q[a;c] ⇒ Q[a;b]) ∨ (Q[c;b] ⇒ Q[a;b]) supposing a < c ∧ c < b
5. n : ℕ
6. ∀[m:ℕn]. ∀a:ℤ. ∀b:{a..a + m-}.  Q[a;b]
7. a : ℤ
8. b : {a..a + n-}
9. ¬b - a < s
10. c : ℤ
11. c = (a + ((b - a) ÷ s)) ∈ ℤ
12. 0 ≤ ((-a) + b rem s)
13. (-a) + b rem s < s
⊢ a * s < (a * s) + ((((-1) * a) + b) - ((-1) * a) + b rem s)
BY
{ (Assert ⌜0 < (s - 1) * (b - a)⌝⋅ THEN Auto') }

1
1. Q : a:ℤ ⟶ {a...} ⟶ ℙ
2. s : {2...}
3. ∀a:ℤ. ∀b:{a..a + s-}.  Q[a;b]
4. ∀a,b,c:ℤ.  (Q[a;c] ⇒ Q[a;b]) ∨ (Q[c;b] ⇒ Q[a;b]) supposing a < c ∧ c < b
5. n : ℕ
6. ∀[m:ℕn]. ∀a:ℤ. ∀b:{a..a + m-}.  Q[a;b]
7. a : ℤ
8. b : {a..a + n-}
9. ¬b - a < s
10. c : ℤ
11. c = (a + ((b - a) ÷ s)) ∈ ℤ
12. 0 ≤ ((-a) + b rem s)
13. (-a) + b rem s < s
14. 0 < (s - 1) * (b - a)
⊢ a * s < (a * s) + ((((-1) * a) + b) - ((-1) * a) + b rem s)

---

Latex:

---

Latex:

1.  Q  :  a:\mBbbZ{}  {}\mrightarrow{}  \{a...\}  {}\mrightarrow{}  \mBbbP{}
2.  s  :  \{2...\}
3.  \mforall{}a:\mBbbZ{}.  \mforall{}b:\{a..a  +  s\msupminus{}\}.    Q[a;b]
4.  \mforall{}a,b,c:\mBbbZ{}.    (Q[a;c]  {}\mRightarrow{}  Q[a;b])  \mvee{}  (Q[c;b]  {}\mRightarrow{}  Q[a;b])  supposing  a  <  c  \mwedge{}  c  <  b
5.  n  :  \mBbbN{}
6.  \mforall{}[m:\mBbbN{}n].  \mforall{}a:\mBbbZ{}.  \mforall{}b:\{a..a  +  m\msupminus{}\}.    Q[a;b]
7.  a  :  \mBbbZ{}
8.  b  :  \{a..a  +  n\msupminus{}\}
9.  \mneg{}b  -  a  <  s
10.  c  :  \mBbbZ{}
11.  c  =  (a  +  ((b  -  a)  \mdiv{}  s))
12.  0  \mleq{}  ((-a)  +  b  rem  s)
13.  (-a)  +  b  rem  s  <  s
\mvdash{}  a  *  s  <  (a  *  s)  +  ((((-1)  *  a)  +  b)  -  ((-1)  *  a)  +  b  rem  s)


By

---

Latex:
(Assert  \mkleeneopen{}0  <  (s  -  1)  *  (b  -  a)\mkleeneclose{}\mcdot{}  THEN  Auto')

---

Home Index