---

Step * 1 1 1 1 1 of Lemma orbit-cover


1. [T] : Type
2. ∀x,y:T.  Dec(x = y ∈ T)
3. n : ℕ
4. f1 : ℕn ⟶ T
5. Surj(ℕn;T;f1)
6. f : T ⟶ T
7. orbit : a:T ⟶ (T List)
8. ∀a:T
     (no_repeats(T;orbit a)
     ∧ (∀i:ℕ||orbit a||. (orbit a[i] = (f^i a) ∈ T))
     ∧ (∀b:T. ((b ∈ orbit a) ⇐⇒ ∃n:ℕ. (b = (f^n a) ∈ T))))
9. o1 : T List
10. y : ℕn
11. (y ∈ upto(n))
12. o1 = (orbit (f1 y)) ∈ (T List)
⊢ 0 < ||o1||
∧ no_repeats(T;o1)
∧ (∀i:ℕ||o1||. (o1[i] = (f^i o1[0]) ∈ T))
∧ (∀b:T. ((b ∈ o1) ⇐⇒ ∃n:ℕ. (b = (f^n o1[0]) ∈ T)))
BY
{ (InstHyp [⌜f1 y⌝] 8⋅ THENA Auto) }

1
1. [T] : Type
2. ∀x,y:T.  Dec(x = y ∈ T)
3. n : ℕ
4. f1 : ℕn ⟶ T
5. Surj(ℕn;T;f1)
6. f : T ⟶ T
7. orbit : a:T ⟶ (T List)
8. ∀a:T
     (no_repeats(T;orbit a)
     ∧ (∀i:ℕ||orbit a||. (orbit a[i] = (f^i a) ∈ T))
     ∧ (∀b:T. ((b ∈ orbit a) ⇐⇒ ∃n:ℕ. (b = (f^n a) ∈ T))))
9. o1 : T List
10. y : ℕn
11. (y ∈ upto(n))
12. o1 = (orbit (f1 y)) ∈ (T List)
13. no_repeats(T;orbit (f1 y))
∧ (∀i:ℕ||orbit (f1 y)||. (orbit (f1 y)[i] = (f^i (f1 y)) ∈ T))
∧ (∀b:T. ((b ∈ orbit (f1 y)) ⇐⇒ ∃n:ℕ. (b = (f^n (f1 y)) ∈ T)))
⊢ 0 < ||o1||
∧ no_repeats(T;o1)
∧ (∀i:ℕ||o1||. (o1[i] = (f^i o1[0]) ∈ T))
∧ (∀b:T. ((b ∈ o1) ⇐⇒ ∃n:ℕ. (b = (f^n o1[0]) ∈ T)))

---

Latex:

---

Latex:

1.  [T]  :  Type
2.  \mforall{}x,y:T.    Dec(x  =  y)
3.  n  :  \mBbbN{}
4.  f1  :  \mBbbN{}n  {}\mrightarrow{}  T
5.  Surj(\mBbbN{}n;T;f1)
6.  f  :  T  {}\mrightarrow{}  T
7.  orbit  :  a:T  {}\mrightarrow{}  (T  List)
8.  \mforall{}a:T
          (no\_repeats(T;orbit  a)
          \mwedge{}  (\mforall{}i:\mBbbN{}||orbit  a||.  (orbit  a[i]  =  (f\^{}i  a)))
          \mwedge{}  (\mforall{}b:T.  ((b  \mmember{}  orbit  a)  \mLeftarrow{}{}\mRightarrow{}  \mexists{}n:\mBbbN{}.  (b  =  (f\^{}n  a)))))
9.  o1  :  T  List
10.  y  :  \mBbbN{}n
11.  (y  \mmember{}  upto(n))
12.  o1  =  (orbit  (f1  y))
\mvdash{}  0  <  ||o1||
\mwedge{}  no\_repeats(T;o1)
\mwedge{}  (\mforall{}i:\mBbbN{}||o1||.  (o1[i]  =  (f\^{}i  o1[0])))
\mwedge{}  (\mforall{}b:T.  ((b  \mmember{}  o1)  \mLeftarrow{}{}\mRightarrow{}  \mexists{}n:\mBbbN{}.  (b  =  (f\^{}n  o1[0]))))


By

---

Latex:
(InstHyp  [\mkleeneopen{}f1  y\mkleeneclose{}]  8\mcdot{}  THENA  Auto)

---

Home Index