---

Step * 1 2 1 1 1 of Lemma orbit-cover


1. [T] : Type
2. ∀x,y:T.  Dec(x = y ∈ T)
3. n : ℕ
4. f1 : ℕn ⟶ T
5. Surj(ℕn;T;f1)
6. f : T ⟶ T
7. orbit : a:T ⟶ (T List)
8. ∀a:T
     (no_repeats(T;orbit a)
     ∧ (∀i:ℕ||orbit a||. (orbit a[i] = (f^i a) ∈ T))
     ∧ (∀b:T. ((b ∈ orbit a) ⇐⇒ ∃n:ℕ. (b = (f^n a) ∈ T))))
9. orbits : T List List
10. ∀i@0:ℕ||orbits||
      (0 < ||orbits[i@0]||
      ∧ no_repeats(T;orbits[i@0])
      ∧ (∀i:ℕ||orbits[i@0]||. (orbits[i@0][i] = (f^i orbits[i@0][0]) ∈ T))
      ∧ (∀b:T. ((b ∈ orbits[i@0]) ⇐⇒ ∃n:ℕ. (b = (f^n orbits[i@0][0]) ∈ T))))
11. a : ℕ||orbits||
12. 0 < ||orbits[a]||
13. no_repeats(T;orbits[a])
14. ∀i:ℕ||orbits[a]||. (orbits[a][i] = (f^i orbits[a][0]) ∈ T)
15. ∀b:T. ((b ∈ orbits[a]) ⇐⇒ ∃n:ℕ. (b = (f^n orbits[a][0]) ∈ T))
16. b : ℕ||orbits||
17. 0 < ||orbits[b]||
18. no_repeats(T;orbits[b])
19. ∀i@0:ℕ||orbits[b]||. (orbits[b][i@0] = (f^i@0 orbits[b][0]) ∈ T)
20. ∀b@0:T. ((b@0 ∈ orbits[b]) ⇐⇒ ∃n:ℕ. (b@0 = (f^n orbits[b][0]) ∈ T))
21. (orbits[a][0] ∈ orbits[b])
22. i : ℕ||orbits[a]||
⊢ ∃n:ℕ. (orbits[a][i] = (f^n orbits[b][0]) ∈ T)
BY
{ ((FHyp (-3) [-2] THENA Auto)
   THEN (Assert ∃n:ℕ. (orbits[a][i] = (f^n orbits[a][0]) ∈ T) BY
               (BackThruSomeHyp THEN With ⌜i⌝ (D 0)⋅ THEN Auto))
   ) }

1
1. [T] : Type
2. ∀x,y:T.  Dec(x = y ∈ T)
3. n : ℕ
4. f1 : ℕn ⟶ T
5. Surj(ℕn;T;f1)
6. f : T ⟶ T
7. orbit : a:T ⟶ (T List)
8. ∀a:T
     (no_repeats(T;orbit a)
     ∧ (∀i:ℕ||orbit a||. (orbit a[i] = (f^i a) ∈ T))
     ∧ (∀b:T. ((b ∈ orbit a) ⇐⇒ ∃n:ℕ. (b = (f^n a) ∈ T))))
9. orbits : T List List
10. ∀i@0:ℕ||orbits||
      (0 < ||orbits[i@0]||
      ∧ no_repeats(T;orbits[i@0])
      ∧ (∀i:ℕ||orbits[i@0]||. (orbits[i@0][i] = (f^i orbits[i@0][0]) ∈ T))
      ∧ (∀b:T. ((b ∈ orbits[i@0]) ⇐⇒ ∃n:ℕ. (b = (f^n orbits[i@0][0]) ∈ T))))
11. a : ℕ||orbits||
12. 0 < ||orbits[a]||
13. no_repeats(T;orbits[a])
14. ∀i:ℕ||orbits[a]||. (orbits[a][i] = (f^i orbits[a][0]) ∈ T)
15. ∀b:T. ((b ∈ orbits[a]) ⇐⇒ ∃n:ℕ. (b = (f^n orbits[a][0]) ∈ T))
16. b : ℕ||orbits||
17. 0 < ||orbits[b]||
18. no_repeats(T;orbits[b])
19. ∀i@0:ℕ||orbits[b]||. (orbits[b][i@0] = (f^i@0 orbits[b][0]) ∈ T)
20. ∀b@0:T. ((b@0 ∈ orbits[b]) ⇐⇒ ∃n:ℕ. (b@0 = (f^n orbits[b][0]) ∈ T))
21. (orbits[a][0] ∈ orbits[b])
22. i : ℕ||orbits[a]||
23. ∃n:ℕ. (orbits[a][0] = (f^n orbits[b][0]) ∈ T)
24. ∃n:ℕ. (orbits[a][i] = (f^n orbits[a][0]) ∈ T)
⊢ ∃n:ℕ. (orbits[a][i] = (f^n orbits[b][0]) ∈ T)

---

Latex:

---

Latex:

1.  [T]  :  Type
2.  \mforall{}x,y:T.    Dec(x  =  y)
3.  n  :  \mBbbN{}
4.  f1  :  \mBbbN{}n  {}\mrightarrow{}  T
5.  Surj(\mBbbN{}n;T;f1)
6.  f  :  T  {}\mrightarrow{}  T
7.  orbit  :  a:T  {}\mrightarrow{}  (T  List)
8.  \mforall{}a:T
          (no\_repeats(T;orbit  a)
          \mwedge{}  (\mforall{}i:\mBbbN{}||orbit  a||.  (orbit  a[i]  =  (f\^{}i  a)))
          \mwedge{}  (\mforall{}b:T.  ((b  \mmember{}  orbit  a)  \mLeftarrow{}{}\mRightarrow{}  \mexists{}n:\mBbbN{}.  (b  =  (f\^{}n  a)))))
9.  orbits  :  T  List  List
10.  \mforall{}i@0:\mBbbN{}||orbits||
            (0  <  ||orbits[i@0]||
            \mwedge{}  no\_repeats(T;orbits[i@0])
            \mwedge{}  (\mforall{}i:\mBbbN{}||orbits[i@0]||.  (orbits[i@0][i]  =  (f\^{}i  orbits[i@0][0])))
            \mwedge{}  (\mforall{}b:T.  ((b  \mmember{}  orbits[i@0])  \mLeftarrow{}{}\mRightarrow{}  \mexists{}n:\mBbbN{}.  (b  =  (f\^{}n  orbits[i@0][0])))))
11.  a  :  \mBbbN{}||orbits||
12.  0  <  ||orbits[a]||
13.  no\_repeats(T;orbits[a])
14.  \mforall{}i:\mBbbN{}||orbits[a]||.  (orbits[a][i]  =  (f\^{}i  orbits[a][0]))
15.  \mforall{}b:T.  ((b  \mmember{}  orbits[a])  \mLeftarrow{}{}\mRightarrow{}  \mexists{}n:\mBbbN{}.  (b  =  (f\^{}n  orbits[a][0])))
16.  b  :  \mBbbN{}||orbits||
17.  0  <  ||orbits[b]||
18.  no\_repeats(T;orbits[b])
19.  \mforall{}i@0:\mBbbN{}||orbits[b]||.  (orbits[b][i@0]  =  (f\^{}i@0  orbits[b][0]))
20.  \mforall{}b@0:T.  ((b@0  \mmember{}  orbits[b])  \mLeftarrow{}{}\mRightarrow{}  \mexists{}n:\mBbbN{}.  (b@0  =  (f\^{}n  orbits[b][0])))
21.  (orbits[a][0]  \mmember{}  orbits[b])
22.  i  :  \mBbbN{}||orbits[a]||
\mvdash{}  \mexists{}n:\mBbbN{}.  (orbits[a][i]  =  (f\^{}n  orbits[b][0]))


By

---

Latex:
((FHyp  (-3)  [-2]  THENA  Auto)
  THEN  (Assert  \mexists{}n:\mBbbN{}.  (orbits[a][i]  =  (f\^{}n  orbits[a][0]))  BY
                          (BackThruSomeHyp  THEN  With  \mkleeneopen{}i\mkleeneclose{}  (D  0)\mcdot{}  THEN  Auto))
  )

---

Home Index