---

Step * 2 1 1 1 2 2 of Lemma search_succ


1. k : ℕ
2. P : ℕk + 1 ⟶ 𝔹
3. ¬↑(P 0)
4. 0 < search(k;λi.(P (i + 1)))
5. ↑(P search(k;λi.(P (i + 1))))
6. ∀j:ℕk. ¬↑(P (j + 1)) supposing j < search(k;λi.(P (i + 1))) - 1
7. 0 < search(k + 1;P)
8. ↑(P (search(k + 1;P) - 1))
9. ∀j:ℕk + 1. ¬↑(P j) supposing j < search(k + 1;P) - 1
10. 0 < search(k;λi.(P (i + 1)))
⊢ search(k + 1;P) = (search(k;λi.(P (i + 1))) + 1) ∈ ℤ
BY
{ ((((RepeatFor 7 (MoveToConcl (-1)) THEN GenConcl search(k;λi.(P (i + 1))) = x ∈ ℕk + 1) THENA Auto)
    THEN GenConcl search(k + 1;P) = y ∈ ℕk + 2
    )
   THEN Auto'
   ) }

1
1. k : ℕ
2. P : ℕk + 1 ⟶ 𝔹
3. ¬↑(P 0)
4. x : ℕk + 1
5. search(k;λi.(P (i + 1))) = x ∈ ℕk + 1
6. y : ℕk + 2
7. search(k + 1;P) = y ∈ ℕk + 2
8. 0 < x
9. ↑(P x)
10. ∀j:ℕk. ¬↑(P (j + 1)) supposing j < x - 1
11. 0 < y
12. ↑(P (y - 1))
13. ∀j:ℕk + 1. ¬↑(P j) supposing j < y - 1
14. 0 < x
⊢ y = (x + 1) ∈ ℤ

---

Latex:

---

Latex:

1.  k  :  \mBbbN{}
2.  P  :  \mBbbN{}k  +  1  {}\mrightarrow{}  \mBbbB{}
3.  \mneg{}\muparrow{}(P  0)
4.  0  <  search(k;\mlambda{}i.(P  (i  +  1)))
5.  \muparrow{}(P  search(k;\mlambda{}i.(P  (i  +  1))))
6.  \mforall{}j:\mBbbN{}k.  \mneg{}\muparrow{}(P  (j  +  1))  supposing  j  <  search(k;\mlambda{}i.(P  (i  +  1)))  -  1
7.  0  <  search(k  +  1;P)
8.  \muparrow{}(P  (search(k  +  1;P)  -  1))
9.  \mforall{}j:\mBbbN{}k  +  1.  \mneg{}\muparrow{}(P  j)  supposing  j  <  search(k  +  1;P)  -  1
10.  0  <  search(k;\mlambda{}i.(P  (i  +  1)))
\mvdash{}  search(k  +  1;P)  =  (search(k;\mlambda{}i.(P  (i  +  1)))  +  1)


By

---

Latex:
((((RepeatFor  7  (MoveToConcl  (-1))  THEN  GenConcl  search(k;\mlambda{}i.(P  (i  +  1)))  =  x)  THENA  Auto)
    THEN  GenConcl  search(k  +  1;P)  =  y
    )
  THEN  Auto'
  )

---

Home Index