---

Step * 2 1 1 1 2 of Lemma search_succ


1. k : ℕ
2. P : ℕk + 1 ⟶ 𝔹
3. (↑(P (search(k + 1;P) - 1))) ∧ (∀j:ℕk + 1. ¬↑(P j) supposing j < search(k + 1;P) - 1) supposing 0 < search(k + 1;P)
4. ¬↑(P 0)
5. (∃i:ℕk. (↑(P (i + 1)))) ⇒ 0 < search(k;λi.(P (i + 1)))
6. (∃i:ℕk. (↑(P (i + 1)))) ⇐ 0 < search(k;λi.(P (i + 1)))
7. 0 < search(k;λi.(P (i + 1)))
8. ↑(P search(k;λi.(P (i + 1))))
9. ∀j:ℕk. ¬↑(P (j + 1)) supposing j < search(k;λi.(P (i + 1))) - 1
10. 0 < search(k + 1;P)
⊢ search(k + 1;P) = (search(k;λi.(P (i + 1))) + 1) ∈ ℤ
BY
{ ((((D 3 THENA Auto{1,4}-1) THEN D (-1)) THEN Thin 5) THEN D 4) }

1
.....antecedent..... 
1. k : ℕ
2. P : ℕk + 1 ⟶ 𝔹
3. ¬↑(P 0)
4. 0 < search(k;λi.(P (i + 1)))
5. ↑(P search(k;λi.(P (i + 1))))
6. ∀j:ℕk. ¬↑(P (j + 1)) supposing j < search(k;λi.(P (i + 1))) - 1
7. 0 < search(k + 1;P)
8. ↑(P (search(k + 1;P) - 1))
9. ∀j:ℕk + 1. ¬↑(P j) supposing j < search(k + 1;P) - 1
⊢ ∃i:ℕk. (↑(P (i + 1)))

2
1. k : ℕ
2. P : ℕk + 1 ⟶ 𝔹
3. ¬↑(P 0)
4. 0 < search(k;λi.(P (i + 1)))
5. ↑(P search(k;λi.(P (i + 1))))
6. ∀j:ℕk. ¬↑(P (j + 1)) supposing j < search(k;λi.(P (i + 1))) - 1
7. 0 < search(k + 1;P)
8. ↑(P (search(k + 1;P) - 1))
9. ∀j:ℕk + 1. ¬↑(P j) supposing j < search(k + 1;P) - 1
10. 0 < search(k;λi.(P (i + 1)))
⊢ search(k + 1;P) = (search(k;λi.(P (i + 1))) + 1) ∈ ℤ

---

Latex:

---

Latex:

1.  k  :  \mBbbN{}
2.  P  :  \mBbbN{}k  +  1  {}\mrightarrow{}  \mBbbB{}
3.  (\muparrow{}(P  (search(k  +  1;P)  -  1)))  \mwedge{}  (\mforall{}j:\mBbbN{}k  +  1.  \mneg{}\muparrow{}(P  j)  supposing  j  <  search(k  +  1;P)  -  1) 
      supposing  0  <  search(k  +  1;P)
4.  \mneg{}\muparrow{}(P  0)
5.  (\mexists{}i:\mBbbN{}k.  (\muparrow{}(P  (i  +  1))))  {}\mRightarrow{}  0  <  search(k;\mlambda{}i.(P  (i  +  1)))
6.  (\mexists{}i:\mBbbN{}k.  (\muparrow{}(P  (i  +  1))))  \mLeftarrow{}{}  0  <  search(k;\mlambda{}i.(P  (i  +  1)))
7.  0  <  search(k;\mlambda{}i.(P  (i  +  1)))
8.  \muparrow{}(P  search(k;\mlambda{}i.(P  (i  +  1))))
9.  \mforall{}j:\mBbbN{}k.  \mneg{}\muparrow{}(P  (j  +  1))  supposing  j  <  search(k;\mlambda{}i.(P  (i  +  1)))  -  1
10.  0  <  search(k  +  1;P)
\mvdash{}  search(k  +  1;P)  =  (search(k;\mlambda{}i.(P  (i  +  1)))  +  1)


By

---

Latex:
((((D  3  THENA  Auto\{1,4\}-1)  THEN  D  (-1))  THEN  Thin  5)  THEN  D  4)

---

Home Index