---

Step * 1 of Lemma sum-of-three-cubes-iff-2


1. k : ℕ
2. ∃a,b,c:ℤ. (((a * a * a) + (b * b * b) + (c * c * c)) = k ∈ ℤ)
⊢ ∃c:ℤ
   (((c * c * c) = k ∈ ℤ)
   ∨ (∃d:ℕ
       ((¬(d = 0 ∈ ℤ))
       ∧ ((k - c * c * c rem d) = 0 ∈ ℤ)
       ∧ (∃n:ℕ. (((4 * ((k - c * c * c) ÷ d)) - d * d) = (3 * n * n) ∈ ℤ)))))
BY
{ Assert ⌜∃a,b,c:ℤ. ((0 ≤ (a + b)) ∧ (((a * a * a) + (b * b * b) + (c * c * c)) = k ∈ ℤ))⌝⋅ }

1
.....assertion..... 
1. k : ℕ
2. ∃a,b,c:ℤ. (((a * a * a) + (b * b * b) + (c * c * c)) = k ∈ ℤ)
⊢ ∃a,b,c:ℤ. ((0 ≤ (a + b)) ∧ (((a * a * a) + (b * b * b) + (c * c * c)) = k ∈ ℤ))

2
1. k : ℕ
2. ∃a,b,c:ℤ. (((a * a * a) + (b * b * b) + (c * c * c)) = k ∈ ℤ)
3. ∃a,b,c:ℤ. ((0 ≤ (a + b)) ∧ (((a * a * a) + (b * b * b) + (c * c * c)) = k ∈ ℤ))
⊢ ∃c:ℤ
   (((c * c * c) = k ∈ ℤ)
   ∨ (∃d:ℕ
       ((¬(d = 0 ∈ ℤ))
       ∧ ((k - c * c * c rem d) = 0 ∈ ℤ)
       ∧ (∃n:ℕ. (((4 * ((k - c * c * c) ÷ d)) - d * d) = (3 * n * n) ∈ ℤ)))))

---

Latex:

---

Latex:

1.  k  :  \mBbbN{}
2.  \mexists{}a,b,c:\mBbbZ{}.  (((a  *  a  *  a)  +  (b  *  b  *  b)  +  (c  *  c  *  c))  =  k)
\mvdash{}  \mexists{}c:\mBbbZ{}
      (((c  *  c  *  c)  =  k)
      \mvee{}  (\mexists{}d:\mBbbN{}
              ((\mneg{}(d  =  0))
              \mwedge{}  ((k  -  c  *  c  *  c  rem  d)  =  0)
              \mwedge{}  (\mexists{}n:\mBbbN{}.  (((4  *  ((k  -  c  *  c  *  c)  \mdiv{}  d))  -  d  *  d)  =  (3  *  n  *  n))))))


By

---

Latex:
Assert  \mkleeneopen{}\mexists{}a,b,c:\mBbbZ{}.  ((0  \mleq{}  (a  +  b))  \mwedge{}  (((a  *  a  *  a)  +  (b  *  b  *  b)  +  (c  *  c  *  c))  =  k))\mkleeneclose{}\mcdot{}

---

Home Index