---

Step * 1 2 1 of Lemma sum-of-three-cubes-iff-2


1. k : ℕ
2. a : ℤ
3. b : ℤ
4. c : ℤ
5. 0 ≤ (a + b)
6. ((a * a * a) + (b * b * b) + (c * c * c)) = k ∈ ℤ
⊢ ∃c:ℤ
   (((c * c * c) = k ∈ ℤ)
   ∨ (∃d:ℕ
       ((¬(d = 0 ∈ ℤ))
       ∧ ((k - c * c * c rem d) = 0 ∈ ℤ)
       ∧ (∃n:ℕ. (((4 * ((k - c * c * c) ÷ d)) - d * d) = (3 * n * n) ∈ ℤ)))))
BY
{ ((D 0 With ⌜c⌝  THENA Auto)
   THEN (InstLemma `sum-of-three-cubes-iff-1` [⌜k⌝;⌜a⌝;⌜b⌝;⌜c⌝]⋅ THENA Auto)
   THEN D -1
   THEN Thin (-1)
   THEN (D -1 THENA Auto)
   THEN ExRepD
   THEN D -1
   THEN Auto) }

1
1. k : ℕ
2. a : ℤ
3. b : ℤ
4. c : ℤ
5. 0 ≤ (a + b)
6. ((a * a * a) + (b * b * b) + (c * c * c)) = k ∈ ℤ
7. d : ℕ
8. (a + b) = d ∈ ℤ
9. ¬(d = 0 ∈ ℤ)
10. (k - c * c * c rem d) = 0 ∈ ℤ
11. ((a * a) + ((b * b) - a * b)) = ((k - c * c * c) ÷ d) ∈ ℤ
⊢ ((c * c * c) = k ∈ ℤ)
∨ (∃d:ℕ
    ((¬(d = 0 ∈ ℤ))
    ∧ ((k - c * c * c rem d) = 0 ∈ ℤ)
    ∧ (∃n:ℕ. (((4 * ((k - c * c * c) ÷ d)) - d * d) = (3 * n * n) ∈ ℤ))))

---

Latex:

---

Latex:

1.  k  :  \mBbbN{}
2.  a  :  \mBbbZ{}
3.  b  :  \mBbbZ{}
4.  c  :  \mBbbZ{}
5.  0  \mleq{}  (a  +  b)
6.  ((a  *  a  *  a)  +  (b  *  b  *  b)  +  (c  *  c  *  c))  =  k
\mvdash{}  \mexists{}c:\mBbbZ{}
      (((c  *  c  *  c)  =  k)
      \mvee{}  (\mexists{}d:\mBbbN{}
              ((\mneg{}(d  =  0))
              \mwedge{}  ((k  -  c  *  c  *  c  rem  d)  =  0)
              \mwedge{}  (\mexists{}n:\mBbbN{}.  (((4  *  ((k  -  c  *  c  *  c)  \mdiv{}  d))  -  d  *  d)  =  (3  *  n  *  n))))))


By

---

Latex:
((D  0  With  \mkleeneopen{}c\mkleeneclose{}    THENA  Auto)
  THEN  (InstLemma  `sum-of-three-cubes-iff-1`  [\mkleeneopen{}k\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}a\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}b\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}c\mkleeneclose{}]\mcdot{}  THENA  Auto)
  THEN  D  -1
  THEN  Thin  (-1)
  THEN  (D  -1  THENA  Auto)
  THEN  ExRepD
  THEN  D  -1
  THEN  Auto)

---

Home Index