---

Step * 1 2 1 2 1 1 1 of Lemma linearization-value


1. u : ℤ List
2. v : ℤ List List
3. ∀[p:iPolynomial()]
     ∀f:ℤ ⟶ ℤ
       (int_term_value(f;ipolynomial-term(filter(λm.snd(m) ∈b v;p)))
       = linearization(p;v) ⋅ map(λvs.accumulate (with value x and list item v):
                                       x * (f v)
                                      over list:
                                        vs
                                      with starting value:
                                       1);v)
       ∈ ℤ) 
     supposing no_repeats(ℤ List;v)
4. p : iMonomial() List
5. ∀i:ℕ||p||. ∀j:ℕi.  imonomial-less(p[j];p[i])
6. no_repeats(ℤ List;v) ∧ (¬(u ∈ v))
7. f : ℤ ⟶ ℤ
⊢ int_term_value(f;ipolynomial-term(filter(λm.((list-deq(IntDeq) u (snd(m))) ∨bsnd(m) ∈b v);p)))
= (int_term_value(f;ipolynomial-term(filter(λm.(list-deq(IntDeq) u (snd(m)));p)))
  + int_term_value(f;ipolynomial-term(filter(λm.snd(m) ∈b v;p))))
∈ ℤ
BY
{ TACTIC:((Thin (-3) THEN ListInd (-3)) THEN Reduce 0) }

1
1. u : ℤ List
2. v : ℤ List List
3. ∀[p:iPolynomial()]
     ∀f:ℤ ⟶ ℤ
       (int_term_value(f;ipolynomial-term(filter(λm.snd(m) ∈b v;p)))
       = linearization(p;v) ⋅ map(λvs.accumulate (with value x and list item v):
                                       x * (f v)
                                      over list:
                                        vs
                                      with starting value:
                                       1);v)
       ∈ ℤ) 
     supposing no_repeats(ℤ List;v)
4. no_repeats(ℤ List;v) ∧ (¬(u ∈ v))
5. f : ℤ ⟶ ℤ
⊢ int_term_value(f;ipolynomial-term([]))
= (int_term_value(f;ipolynomial-term([])) + int_term_value(f;ipolynomial-term([])))
∈ ℤ

2
1. u : ℤ List
2. v : ℤ List List
3. ∀[p:iPolynomial()]
     ∀f:ℤ ⟶ ℤ
       (int_term_value(f;ipolynomial-term(filter(λm.snd(m) ∈b v;p)))
       = linearization(p;v) ⋅ map(λvs.accumulate (with value x and list item v):
                                       x * (f v)
                                      over list:
                                        vs
                                      with starting value:
                                       1);v)
       ∈ ℤ) 
     supposing no_repeats(ℤ List;v)
4. no_repeats(ℤ List;v) ∧ (¬(u ∈ v))
5. f : ℤ ⟶ ℤ
6. u1 : iMonomial()
7. v1 : iMonomial() List
8. int_term_value(f;ipolynomial-term(filter(λm.((list-deq(IntDeq) u (snd(m))) ∨bsnd(m) ∈b v);v1)))
= (int_term_value(f;ipolynomial-term(filter(λm.(list-deq(IntDeq) u (snd(m)));v1)))
  + int_term_value(f;ipolynomial-term(filter(λm.snd(m) ∈b v;v1))))
∈ ℤ
⊢ int_term_value(f;ipolynomial-term(if (list-deq(IntDeq) u (snd(u1))) ∨bsnd(u1) ∈b v
then [u1 / filter(λm.((list-deq(IntDeq) u (snd(m))) ∨bsnd(m) ∈b v);v1)]
else filter(λm.((list-deq(IntDeq) u (snd(m))) ∨bsnd(m) ∈b v);v1)
fi ))
= (int_term_value(f;ipolynomial-term(if list-deq(IntDeq) u (snd(u1))
  then [u1 / filter(λm.(list-deq(IntDeq) u (snd(m)));v1)]
  else filter(λm.(list-deq(IntDeq) u (snd(m)));v1)
  fi ))
  + int_term_value(f;ipolynomial-term(if snd(u1) ∈b v
    then [u1 / filter(λm.snd(m) ∈b v;v1)]
    else filter(λm.snd(m) ∈b v;v1)
    fi )))
∈ ℤ

---

Latex:

---

Latex:

1.  u  :  \mBbbZ{}  List
2.  v  :  \mBbbZ{}  List  List
3.  \mforall{}[p:iPolynomial()]
          \mforall{}f:\mBbbZ{}  {}\mrightarrow{}  \mBbbZ{}
              (int\_term\_value(f;ipolynomial-term(filter(\mlambda{}m.snd(m)  \mmember{}\msubb{}  v;p)))
              =  linearization(p;v)  \mcdot{}  map(\mlambda{}vs.accumulate  (with  value  x  and  list  item  v):
                                                                              x  *  (f  v)
                                                                            over  list:
                                                                                vs
                                                                            with  starting  value:
                                                                              1);v)) 
          supposing  no\_repeats(\mBbbZ{}  List;v)
4.  p  :  iMonomial()  List
5.  \mforall{}i:\mBbbN{}||p||.  \mforall{}j:\mBbbN{}i.    imonomial-less(p[j];p[i])
6.  no\_repeats(\mBbbZ{}  List;v)  \mwedge{}  (\mneg{}(u  \mmember{}  v))
7.  f  :  \mBbbZ{}  {}\mrightarrow{}  \mBbbZ{}
\mvdash{}  int\_term\_value(f;ipolynomial-term(filter(\mlambda{}m.((list-deq(IntDeq)  u  (snd(m)))  \mvee{}\msubb{}snd(m)  \mmember{}\msubb{}  v);p)))
=  (int\_term\_value(f;ipolynomial-term(filter(\mlambda{}m.(list-deq(IntDeq)  u  (snd(m)));p)))
    +  int\_term\_value(f;ipolynomial-term(filter(\mlambda{}m.snd(m)  \mmember{}\msubb{}  v;p))))


By

---

Latex:
TACTIC:((Thin  (-3)  THEN  ListInd  (-3))  THEN  Reduce  0)

---

Home Index