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Step * 1 2 1 1 of Lemma satisfies-negate-poly-constraint


1. eqs : iPolynomial() List
2. ineqs : iPolynomial() List
3. f : ℤ ⟶ ℤ
⊢ (∃Z∈accumulate (with value pcs and list item e):
       [<[], [minus-poly(add-ipoly(e;const-poly(1)))]>; [<[], [add-ipoly(e;const-poly(-1))]> / pcs]]
      over list:
        eqs
      with starting value:
       map(λineq.<[], [minus-poly(add-ipoly(ineq;const-poly(1)))]>;ineqs)). satisfies-poly-constraints(f;Z))
⇐⇒ (∃e∈eqs. (0 ≤ int_term_value(f;ipolynomial-term(minus-poly(add-ipoly(e;const-poly(1))))))
    ∨ (0 ≤ int_term_value(f;ipolynomial-term(add-ipoly(e;const-poly(-1))))))
    ∨ (∃ineq∈ineqs. 0 ≤ int_term_value(f;ipolynomial-term(minus-poly(add-ipoly(ineq;const-poly(1))))))
BY
{ Assert ⌜∀L:polynomial-constraints() List
            ((∃Z∈accumulate (with value pcs and list item e):
                  [<[], [minus-poly(add-ipoly(e;const-poly(1)))]>; [<[], [add-ipoly(e;const-poly(-1))]> / pcs]]
                 over list:
                   eqs
                 with starting value:
                  L). satisfies-poly-constraints(f;Z))
            ⇐⇒ (∃e∈eqs. (0 ≤ int_term_value(f;ipolynomial-term(minus-poly(add-ipoly(e;const-poly(1))))))
                ∨ (0 ≤ int_term_value(f;ipolynomial-term(add-ipoly(e;const-poly(-1))))))
                ∨ (∃Z∈L. satisfies-poly-constraints(f;Z)))⌝⋅ }

1
.....assertion..... 
1. eqs : iPolynomial() List
2. ineqs : iPolynomial() List
3. f : ℤ ⟶ ℤ
⊢ ∀L:polynomial-constraints() List
    ((∃Z∈accumulate (with value pcs and list item e):
          [<[], [minus-poly(add-ipoly(e;const-poly(1)))]>; [<[], [add-ipoly(e;const-poly(-1))]> / pcs]]
         over list:
           eqs
         with starting value:
          L). satisfies-poly-constraints(f;Z))
    ⇐⇒ (∃e∈eqs. (0 ≤ int_term_value(f;ipolynomial-term(minus-poly(add-ipoly(e;const-poly(1))))))
        ∨ (0 ≤ int_term_value(f;ipolynomial-term(add-ipoly(e;const-poly(-1))))))
        ∨ (∃Z∈L. satisfies-poly-constraints(f;Z)))

2
1. eqs : iPolynomial() List
2. ineqs : iPolynomial() List
3. f : ℤ ⟶ ℤ
4. ∀L:polynomial-constraints() List
     ((∃Z∈accumulate (with value pcs and list item e):
           [<[], [minus-poly(add-ipoly(e;const-poly(1)))]>; [<[], [add-ipoly(e;const-poly(-1))]> / pcs]]
          over list:
            eqs
          with starting value:
           L). satisfies-poly-constraints(f;Z))
     ⇐⇒ (∃e∈eqs. (0 ≤ int_term_value(f;ipolynomial-term(minus-poly(add-ipoly(e;const-poly(1))))))
         ∨ (0 ≤ int_term_value(f;ipolynomial-term(add-ipoly(e;const-poly(-1))))))
         ∨ (∃Z∈L. satisfies-poly-constraints(f;Z)))
⊢ (∃Z∈accumulate (with value pcs and list item e):
       [<[], [minus-poly(add-ipoly(e;const-poly(1)))]>; [<[], [add-ipoly(e;const-poly(-1))]> / pcs]]
      over list:
        eqs
      with starting value:
       map(λineq.<[], [minus-poly(add-ipoly(ineq;const-poly(1)))]>;ineqs)). satisfies-poly-constraints(f;Z))
⇐⇒ (∃e∈eqs. (0 ≤ int_term_value(f;ipolynomial-term(minus-poly(add-ipoly(e;const-poly(1))))))
    ∨ (0 ≤ int_term_value(f;ipolynomial-term(add-ipoly(e;const-poly(-1))))))
    ∨ (∃ineq∈ineqs. 0 ≤ int_term_value(f;ipolynomial-term(minus-poly(add-ipoly(ineq;const-poly(1))))))

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Latex:

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Latex:

1.  eqs  :  iPolynomial()  List
2.  ineqs  :  iPolynomial()  List
3.  f  :  \mBbbZ{}  {}\mrightarrow{}  \mBbbZ{}
\mvdash{}  (\mexists{}Z\mmember{}accumulate  (with  value  pcs  and  list  item  e):
              [<[],  [minus-poly(add-ipoly(e;const-poly(1)))]>  [<[],  [add-ipoly(e;const-poly(-1))]>  /  pcs]]
            over  list:
                eqs
            with  starting  value:
              map(\mlambda{}ineq.<[],  [minus-poly(add-ipoly(ineq;const-poly(1)))]>
                      ineqs)).  satisfies-poly-constraints(f;Z))
\mLeftarrow{}{}\mRightarrow{}  (\mexists{}e\mmember{}eqs.  (0  \mleq{}  int\_term\_value(f;ipolynomial-term(minus-poly(add-ipoly(e;const-poly(1))))))
        \mvee{}  (0  \mleq{}  int\_term\_value(f;ipolynomial-term(add-ipoly(e;const-poly(-1))))))
        \mvee{}  (\mexists{}ineq\mmember{}ineqs.  0 
                                        \mleq{}  int\_term\_value(f;ipolynomial-term(minus-poly(add-ipoly(ineq;const-poly(1))))))


By

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Latex:
Assert 
\mkleeneopen{}\mforall{}L:polynomial-constraints()  List
      ((\mexists{}Z\mmember{}accumulate  (with  value  pcs  and  list  item  e):
                  [<[],  [minus-poly(add-ipoly(e;const-poly(1)))]>
                    [<[],  [add-ipoly(e;const-poly(-1))]>  /  pcs]]
                over  list:
                    eqs
                with  starting  value:
                  L).  satisfies-poly-constraints(f;Z))
      \mLeftarrow{}{}\mRightarrow{}  (\mexists{}e\mmember{}eqs.  (0  \mleq{}  int\_term\_value(f;ipolynomial-term(minus-poly(add-ipoly(e;const-poly(1))))))
              \mvee{}  (0  \mleq{}  int\_term\_value(f;ipolynomial-term(add-ipoly(e;const-poly(-1))))))
              \mvee{}  (\mexists{}Z\mmember{}L.  satisfies-poly-constraints(f;Z)))\mkleeneclose{}\mcdot{}

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