---

Step * 2 1 1 of Lemma rel-comp-exp


1. [T] : Type
2. [R] : T ⟶ T ⟶ ℙ
3. [S] : T ⟶ T ⟶ ℙ
4. n : ℤ
5. n ≠ 0
6. [%1] : 0 < n
7. ∀x,y:T.  ((R o S)^n - 1 x y ⇐⇒ if (n - 1 =z 0) then λx,y. (x = y ∈ T) else (R o ((S o R)^n - 1 - 1 o S)) fi  x y)
8. x : T
9. y : T
⊢ ∃z:T. ((x (R o S) z) ∧ (if (n - 1 =z 0) then λx,y. (x = y ∈ T) else (R o ((S o R)^n - 1 - 1 o S)) fi  z y))
⇐⇒ (R o (if (n - 1 =z 0) then λx,y. (x = y ∈ T) else λx,y. ∃z:T. ((x (S o R) z) ∧ (z (S o R)^n - 1 - 1 y)) fi  o S)) x \000Cy
BY
{ AutoSplit }

1
1. [T] : Type
2. [R] : T ⟶ T ⟶ ℙ
3. [S] : T ⟶ T ⟶ ℙ
4. n : ℤ
5. n ≠ 0
6. [%1] : 0 < n
7. ∀x,y:T.  ((R o S)^n - 1 x y ⇐⇒ if (n - 1 =z 0) then λx,y. (x = y ∈ T) else (R o ((S o R)^n - 1 - 1 o S)) fi  x y)
8. x : T
9. y : T
10. (n - 1) = 0 ∈ ℤ
⊢ ∃z:T. ((x (R o S) z) ∧ (z = y ∈ T)) ⇐⇒ (R o (λx,y. (x = y ∈ T) o S)) x y

2
1. [T] : Type
2. [R] : T ⟶ T ⟶ ℙ
3. [S] : T ⟶ T ⟶ ℙ
4. n : ℤ
5. n - 1 ≠ 0
6. n ≠ 0
7. [%1] : 0 < n
8. ∀x,y:T.  ((R o S)^n - 1 x y ⇐⇒ (R o ((S o R)^n - 1 - 1 o S)) x y)
9. x : T
10. y : T
⊢ ∃z@0:T. ((x (R o S) z@0) ∧ ((R o ((S o R)^n - 1 - 1 o S)) z@0 y))
⇐⇒ (R o (λx,y. ∃z:T. ((x (S o R) z) ∧ (z (S o R)^n - 1 - 1 y)) o S)) x y

---

Latex:

---

Latex:

1.  [T]  :  Type
2.  [R]  :  T  {}\mrightarrow{}  T  {}\mrightarrow{}  \mBbbP{}
3.  [S]  :  T  {}\mrightarrow{}  T  {}\mrightarrow{}  \mBbbP{}
4.  n  :  \mBbbZ{}
5.  n  \mneq{}  0
6.  [\%1]  :  0  <  n
7.  \mforall{}x,y:T.
          (rel\_exp(T;  (R  o  S);  n  -  1)  x  y
          \mLeftarrow{}{}\mRightarrow{}  if  (n  -  1  =\msubz{}  0)  then  \mlambda{}x,y.  (x  =  y)  else  (R  o  (rel\_exp(T;  (S  o  R);  n  -  1  -  1)  o  S))  fi    x  y)
8.  x  :  T
9.  y  :  T
\mvdash{}  \mexists{}z:T
      ((x  (R  o  S)  z)
      \mwedge{}  (if  (n  -  1  =\msubz{}  0)  then  \mlambda{}x,y.  (x  =  y)  else  (R  o  ((S  o  R)\^{}n  -  1  -  1  o  S))  fi    z  y))
\mLeftarrow{}{}\mRightarrow{}  (R  o  (if  (n  -  1  =\msubz{}  0)
        then  \mlambda{}x,y.  (x  =  y)
        else  \mlambda{}x,y.  \mexists{}z:T.  ((x  (S  o  R)  z)  \mwedge{}  (z  rel\_exp(T;  (S  o  R);  n  -  1  -  1)  y))
        fi    o  S)) 
        x 
        y


By

---

Latex:
AutoSplit

---

Home Index