---

Step * 2 1 2 1 1 1 1 of Lemma rel_plus-restriction-equiv

.....assertion..... 
1. [T] : Type
2. [R] : T ⟶ T ⟶ ℙ
3. [P] : T ⟶ ℙ
4. ∀x,y:T.  ((P[y] ∧ (R x y)) ⇒ P[x])
5. x : T
6. y : T
7. R+|P x y
8. n : ℤ
9. 0 < n
10. ∀a,b:T.  ((R^n|P a b) ⇒ (R|P+ a b))
11. a : T
12. b : T
13. z : T
14. a R z
15. z R^(n + 1) - 1 b
16. P a
17. P b
18. ¬((n + 1) = 0 ∈ ℤ)
⊢ ∀m:ℕ+. ∀x,y:T.  ((P[y] ∧ (R^m x y)) ⇒ P[x])
BY
{ InductionOnNat }

1
.....basecase..... 
1. [T] : Type
2. [R] : T ⟶ T ⟶ ℙ
3. [P] : T ⟶ ℙ
4. ∀x,y:T.  ((P[y] ∧ (R x y)) ⇒ P[x])
5. x : T
6. y : T
7. R+|P x y
8. n : ℤ
9. 0 < n
10. ∀a,b:T.  ((R^n|P a b) ⇒ (R|P+ a b))
11. a : T
12. b : T
13. z : T
14. a R z
15. z R^(n + 1) - 1 b
16. P a
17. P b
18. ¬((n + 1) = 0 ∈ ℤ)
19. m : ℕ+
⊢ ∀x,y:T.  ((P[y] ∧ (R^1 x y)) ⇒ P[x])

2
.....upcase..... 
1. [T] : Type
2. [R] : T ⟶ T ⟶ ℙ
3. [P] : T ⟶ ℙ
4. ∀x,y:T.  ((P[y] ∧ (R x y)) ⇒ P[x])
5. x : T
6. y : T
7. R+|P x y
8. n : ℤ
9. 0 < n
10. ∀a,b:T.  ((R^n|P a b) ⇒ (R|P+ a b))
11. a : T
12. b : T
13. z : T
14. a R z
15. z R^(n + 1) - 1 b
16. P a
17. P b
18. ¬((n + 1) = 0 ∈ ℤ)
19. m : ℤ
20. 0 < m
21. ∀x,y:T.  ((P[y] ∧ (R^m x y)) ⇒ P[x])
⊢ ∀x,y:T.  ((P[y] ∧ (R^m + 1 x y)) ⇒ P[x])

---

Latex:

---

Latex:
.....assertion..... 
1.  [T]  :  Type
2.  [R]  :  T  {}\mrightarrow{}  T  {}\mrightarrow{}  \mBbbP{}
3.  [P]  :  T  {}\mrightarrow{}  \mBbbP{}
4.  \mforall{}x,y:T.    ((P[y]  \mwedge{}  (R  x  y))  {}\mRightarrow{}  P[x])
5.  x  :  T
6.  y  :  T
7.  R\msupplus{}|P  x  y
8.  n  :  \mBbbZ{}
9.  0  <  n
10.  \mforall{}a,b:T.    ((rel\_exp(T;  R;  n)|P  a  b)  {}\mRightarrow{}  (R|P\msupplus{}  a  b))
11.  a  :  T
12.  b  :  T
13.  z  :  T
14.  a  R  z
15.  z  rel\_exp(T;  R;  (n  +  1)  -  1)  b
16.  P  a
17.  P  b
18.  \mneg{}((n  +  1)  =  0)
\mvdash{}  \mforall{}m:\mBbbN{}\msupplus{}.  \mforall{}x,y:T.    ((P[y]  \mwedge{}  (rel\_exp(T;  R;  m)  x  y))  {}\mRightarrow{}  P[x])


By

---

Latex:
InductionOnNat

---

Home Index