---

Step * 2 2 of Lemma transitive-closure-cases


1. [A] : Type
2. [R] : A ⟶ A ⟶ ℙ
3. x : A
4. y : A
5. u : a:A × b:A × (R a b)
6. u1 : a:A × b:A × (R a b)
7. v : (a:A × b:A × (R a b)) List
8. [%1] : rel_path(A;[u; [u1 / v]];x;y) ∧ 0 < ||[u; [u1 / v]]||
⊢ (x R y) ∨ (∃z:A. ((x R z) ∧ (z TC(R) y)))
BY
{ (DProds THEN All Reduce) }

1
1. [A] : Type
2. [R] : A ⟶ A ⟶ ℙ
3. x : A
4. y : A
5. a1 : A
6. b1 : A
7. u5 : R a1 b1
8. a : A
9. b : A
10. u4 : R a b
11. v : (a:A × b:A × (R a b)) List
12. [%1] : rel_path(A;[<a1, b1, u5>; [<a, b, u4> / v]];x;y) ∧ 0 < (||v|| + 1) + 1
⊢ (x R y) ∨ (∃z:A. ((x R z) ∧ (z TC(R) y)))

---

Latex:

---

Latex:

1.  [A]  :  Type
2.  [R]  :  A  {}\mrightarrow{}  A  {}\mrightarrow{}  \mBbbP{}
3.  x  :  A
4.  y  :  A
5.  u  :  a:A  \mtimes{}  b:A  \mtimes{}  (R  a  b)
6.  u1  :  a:A  \mtimes{}  b:A  \mtimes{}  (R  a  b)
7.  v  :  (a:A  \mtimes{}  b:A  \mtimes{}  (R  a  b))  List
8.  [\%1]  :  rel\_path(A;[u;  [u1  /  v]];x;y)  \mwedge{}  0  <  ||[u;  [u1  /  v]]||
\mvdash{}  (x  R  y)  \mvee{}  (\mexists{}z:A.  ((x  R  z)  \mwedge{}  (z  TC(R)  y)))


By

---

Latex:
(DProds  THEN  All  Reduce)

---

Home Index