---

Step * 2 2 1 of Lemma transitive-closure-cases


1. [A] : Type
2. [R] : A ⟶ A ⟶ ℙ
3. x : A
4. y : A
5. a1 : A
6. b1 : A
7. u5 : R a1 b1
8. a : A
9. b : A
10. u4 : R a b
11. v : (a:A × b:A × (R a b)) List
12. [%1] : rel_path(A;[<a1, b1, u5>; [<a, b, u4> / v]];x;y) ∧ 0 < (||v|| + 1) + 1
⊢ (x R y) ∨ (∃z:A. ((x R z) ∧ (z TC(R) y)))
BY
{ ((OrRight THENA Auto) THEN D 0 With ⌜b1⌝  THEN Auto) }

1
1. [A] : Type
2. [R] : A ⟶ A ⟶ ℙ
3. x : A
4. y : A
5. a1 : A
6. b1 : A
7. u5 : R a1 b1
8. a : A
9. b : A
10. u4 : R a b
11. v : (a:A × b:A × (R a b)) List
12. [%1] : rel_path(A;[<a1, b1, u5>; [<a, b, u4> / v]];x;y) ∧ 0 < (||v|| + 1) + 1
⊢ x R b1

2
1. [A] : Type
2. [R] : A ⟶ A ⟶ ℙ
3. x : A
4. y : A
5. a1 : A
6. b1 : A
7. u5 : R a1 b1
8. a : A
9. b : A
10. u4 : R a b
11. v : (a:A × b:A × (R a b)) List
12. [%1] : rel_path(A;[<a1, b1, u5>; [<a, b, u4> / v]];x;y) ∧ 0 < (||v|| + 1) + 1
13. x R b1
⊢ b1 TC(R) y

---

Latex:

---

Latex:

1.  [A]  :  Type
2.  [R]  :  A  {}\mrightarrow{}  A  {}\mrightarrow{}  \mBbbP{}
3.  x  :  A
4.  y  :  A
5.  a1  :  A
6.  b1  :  A
7.  u5  :  R  a1  b1
8.  a  :  A
9.  b  :  A
10.  u4  :  R  a  b
11.  v  :  (a:A  \mtimes{}  b:A  \mtimes{}  (R  a  b))  List
12.  [\%1]  :  rel\_path(A;[<a1,  b1,  u5>  [<a,  b,  u4>  /  v]];x;y)  \mwedge{}  0  <  (||v||  +  1)  +  1
\mvdash{}  (x  R  y)  \mvee{}  (\mexists{}z:A.  ((x  R  z)  \mwedge{}  (z  TC(R)  y)))


By

---

Latex:
((OrRight  THENA  Auto)  THEN  D  0  With  \mkleeneopen{}b1\mkleeneclose{}    THEN  Auto)

---

Home Index