---

Step * 2 of Lemma unordered-combination_functionality


1. [A] : Type
2. [B] : Type
3. n : ℕ
4. m : ℕ
5. f : A ⟶ B
6. Bij(A;B;f)
7. n = m ∈ ℤ
8. ∀[A,B:Type].
     ∀f:A ⟶ B. (Inj(A;B;f) ⇒ (∀n:ℕ. ∀b:UnorderedCombination(n;A).  (bag-map(f;b) ∈ UnorderedCombination(n;B))))
⊢ UnorderedCombination(n;A) ~ UnorderedCombination(m;B)
BY
{ (RevHypSubst' (-2) 0
   THEN (InstHyp [⌜A⌝;⌜B⌝;⌜f⌝;⌜n⌝] (-1)⋅ THENA Auto)
   THEN FLemma `biject-inverse` [-4]
   THEN Auto
   THEN ExRepD
   THEN (InstHyp [⌜B⌝;⌜A⌝;⌜g⌝;⌜n⌝] (-5)⋅ THENA Auto)⋅) }

1
.....antecedent..... 
1. [A] : Type
2. [B] : Type
3. n : ℕ
4. m : ℕ
5. f : A ⟶ B
6. Bij(A;B;f)
7. n = m ∈ ℤ
8. ∀[A,B:Type].
     ∀f:A ⟶ B. (Inj(A;B;f) ⇒ (∀n:ℕ. ∀b:UnorderedCombination(n;A).  (bag-map(f;b) ∈ UnorderedCombination(n;B))))
9. ∀b:UnorderedCombination(n;A). (bag-map(f;b) ∈ UnorderedCombination(n;B))
10. g : B ⟶ A
11. ∀b:B. ((f (g b)) = b ∈ B)
12. ∀a:A. ((g (f a)) = a ∈ A)
⊢ Inj(B;A;g)

2
1. [A] : Type
2. [B] : Type
3. n : ℕ
4. m : ℕ
5. f : A ⟶ B
6. Bij(A;B;f)
7. n = m ∈ ℤ
8. ∀[A,B:Type].
     ∀f:A ⟶ B. (Inj(A;B;f) ⇒ (∀n:ℕ. ∀b:UnorderedCombination(n;A).  (bag-map(f;b) ∈ UnorderedCombination(n;B))))
9. ∀b:UnorderedCombination(n;A). (bag-map(f;b) ∈ UnorderedCombination(n;B))
10. g : B ⟶ A
11. ∀b:B. ((f (g b)) = b ∈ B)
12. ∀a:A. ((g (f a)) = a ∈ A)
13. ∀b:UnorderedCombination(n;B). (bag-map(g;b) ∈ UnorderedCombination(n;A))
⊢ UnorderedCombination(n;A) ~ UnorderedCombination(n;B)

---

Latex:

---

Latex:

1.  [A]  :  Type
2.  [B]  :  Type
3.  n  :  \mBbbN{}
4.  m  :  \mBbbN{}
5.  f  :  A  {}\mrightarrow{}  B
6.  Bij(A;B;f)
7.  n  =  m
8.  \mforall{}[A,B:Type].
          \mforall{}f:A  {}\mrightarrow{}  B
              (Inj(A;B;f)
              {}\mRightarrow{}  (\mforall{}n:\mBbbN{}.  \mforall{}b:UnorderedCombination(n;A).    (bag-map(f;b)  \mmember{}  UnorderedCombination(n;B))))
\mvdash{}  UnorderedCombination(n;A)  \msim{}  UnorderedCombination(m;B)


By

---

Latex:
(RevHypSubst'  (-2)  0
  THEN  (InstHyp  [\mkleeneopen{}A\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}B\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}f\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}n\mkleeneclose{}]  (-1)\mcdot{}  THENA  Auto)
  THEN  FLemma  `biject-inverse`  [-4]
  THEN  Auto
  THEN  ExRepD
  THEN  (InstHyp  [\mkleeneopen{}B\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}A\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}g\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}n\mkleeneclose{}]  (-5)\mcdot{}  THENA  Auto)\mcdot{})

---

Home Index