---

Step * 2 2 1 1 1 of Lemma unordered-combination_functionality


1. A : Type
2. B : Type
3. n : ℕ
4. m : ℕ
5. f : A ⟶ B
6. Bij(A;B;f)
7. n = m ∈ ℤ
8. ∀[A,B:Type].
     ∀f:A ⟶ B. (Inj(A;B;f) ⇒ (∀n:ℕ. ∀b:UnorderedCombination(n;A).  (bag-map(f;b) ∈ UnorderedCombination(n;B))))
9. ∀b:UnorderedCombination(n;A). (bag-map(f;b) ∈ UnorderedCombination(n;B))
10. g : B ⟶ A
11. ∀b:B. ((f (g b)) = b ∈ B)
12. ∀a:A. ((g (f a)) = a ∈ A)
13. ∀b:UnorderedCombination(n;B). (bag-map(g;b) ∈ UnorderedCombination(n;A))
14. a1 : bag(A)
15. bag-no-repeats(A;a1)
16. #(a1) = n ∈ ℤ
17. a2 : bag(A)
18. bag-no-repeats(A;a2)
19. #(a2) = n ∈ ℤ
20. bag-map(f;a1) = bag-map(f;a2) ∈ UnorderedCombination(n;B)
21. bag-map(g;bag-map(f;a1)) = bag-map(g;bag-map(f;a2)) ∈ UnorderedCombination(n;A)
⊢ a1 = a2 ∈ bag(A)
BY
{ ((EqTypeD (-1) THEN Auto THEN (RWO "bag-map-map" (-3) THENA (Auto THEN DoSubsume THEN Auto)))
   THEN (Subst' (g o f) = (λx.x) ∈ (A ⟶ A) -3 THENA (Auto THEN (Ext THEN Reduce 0 THEN Auto)⋅))
   ) }

1
1. A : Type
2. B : Type
3. n : ℕ
4. m : ℕ
5. f : A ⟶ B
6. Bij(A;B;f)
7. n = m ∈ ℤ
8. ∀[A,B:Type].
     ∀f:A ⟶ B. (Inj(A;B;f) ⇒ (∀n:ℕ. ∀b:UnorderedCombination(n;A).  (bag-map(f;b) ∈ UnorderedCombination(n;B))))
9. ∀b:UnorderedCombination(n;A). (bag-map(f;b) ∈ UnorderedCombination(n;B))
10. g : B ⟶ A
11. ∀b:B. ((f (g b)) = b ∈ B)
12. ∀a:A. ((g (f a)) = a ∈ A)
13. ∀b:UnorderedCombination(n;B). (bag-map(g;b) ∈ UnorderedCombination(n;A))
14. a1 : bag(A)
15. bag-no-repeats(A;a1)
16. #(a1) = n ∈ ℤ
17. a2 : bag(A)
18. bag-no-repeats(A;a2)
19. #(a2) = n ∈ ℤ
20. bag-map(f;a1) = bag-map(f;a2) ∈ UnorderedCombination(n;B)
21. bag-map(λx.x;a1) = bag-map(λx.x;a2) ∈ bag(A)
22. bag-no-repeats(A;bag-map(g;bag-map(f;a1)))
23. #(bag-map(g;bag-map(f;a1))) = n ∈ ℤ
⊢ a1 = a2 ∈ bag(A)

---

Latex:

---

Latex:

1.  A  :  Type
2.  B  :  Type
3.  n  :  \mBbbN{}
4.  m  :  \mBbbN{}
5.  f  :  A  {}\mrightarrow{}  B
6.  Bij(A;B;f)
7.  n  =  m
8.  \mforall{}[A,B:Type].
          \mforall{}f:A  {}\mrightarrow{}  B
              (Inj(A;B;f)
              {}\mRightarrow{}  (\mforall{}n:\mBbbN{}.  \mforall{}b:UnorderedCombination(n;A).    (bag-map(f;b)  \mmember{}  UnorderedCombination(n;B))))
9.  \mforall{}b:UnorderedCombination(n;A).  (bag-map(f;b)  \mmember{}  UnorderedCombination(n;B))
10.  g  :  B  {}\mrightarrow{}  A
11.  \mforall{}b:B.  ((f  (g  b))  =  b)
12.  \mforall{}a:A.  ((g  (f  a))  =  a)
13.  \mforall{}b:UnorderedCombination(n;B).  (bag-map(g;b)  \mmember{}  UnorderedCombination(n;A))
14.  a1  :  bag(A)
15.  bag-no-repeats(A;a1)
16.  \#(a1)  =  n
17.  a2  :  bag(A)
18.  bag-no-repeats(A;a2)
19.  \#(a2)  =  n
20.  bag-map(f;a1)  =  bag-map(f;a2)
21.  bag-map(g;bag-map(f;a1))  =  bag-map(g;bag-map(f;a2))
\mvdash{}  a1  =  a2


By

---

Latex:
((EqTypeD  (-1)  THEN  Auto  THEN  (RWO  "bag-map-map"  (-3)  THENA  (Auto  THEN  DoSubsume  THEN  Auto)))
  THEN  (Subst'  (g  o  f)  =  (\mlambda{}x.x)  -3  THENA  (Auto  THEN  (Ext  THEN  Reduce  0  THEN  Auto)\mcdot{}))
  )

---

Home Index