---

Step * 2 1 1 1 1 of Lemma bag-moebius-property


1. T : Type
2. valueall-type(T)
3. eq : EqDecider(T)
4. b : bag(T)
5. ¬(b = {} ∈ bag(T))
6. Assoc(ℤ;λx,y. (x + y))
7. Comm(ℤ;λx,y. (x + y))
8. Σ(c∈sub-bags(eq;b)). bag-moebius(eq;c) = if bag-null(b) then 1 else 0 fi  ∈ ℤ
9. IsMonoid(ℤ;λx,y. (x + y);0)
⊢ (bag-moebius(eq;b) + Σ(p∈[p∈bag-partitions(eq;b)|¬bbag-null(fst(p))]). bag-moebius(eq;snd(p)))
= Σ(p∈sub-bags(eq;b)). bag-moebius(eq;p)
∈ ℤ
BY
{ xxx(Auto
      THEN (InstLemma `bag-summation-split` [⌜bag(T)⌝;⌜ℤ⌝;⌜λx,y. (x + y)⌝;⌜0⌝;⌜sub-bags(eq;b)⌝;⌜λ2p.(#(p) =z #(b))⌝]⋅
            THENA Auto
            )
      THEN Reduce (-1)
      THEN (RWO  "-1" 0 THENA Auto)
      THEN Thin (-1)
      THEN EqCD)xxx }

1
.....subterm..... T:t
1:n
1. T : Type
2. valueall-type(T)
3. eq : EqDecider(T)
4. b : bag(T)
5. ¬(b = {} ∈ bag(T))
6. Assoc(ℤ;λx,y. (x + y))
7. Comm(ℤ;λx,y. (x + y))
8. Σ(c∈sub-bags(eq;b)). bag-moebius(eq;c) = if bag-null(b) then 1 else 0 fi  ∈ ℤ
9. IsMonoid(ℤ;λx,y. (x + y);0)
⊢ bag-moebius(eq;b) = Σ(x∈[x∈sub-bags(eq;b)|(#(x) =z #(b))]). bag-moebius(eq;x) ∈ ℤ

2
.....subterm..... T:t
2:n
1. T : Type
2. valueall-type(T)
3. eq : EqDecider(T)
4. b : bag(T)
5. ¬(b = {} ∈ bag(T))
6. Assoc(ℤ;λx,y. (x + y))
7. Comm(ℤ;λx,y. (x + y))
8. Σ(c∈sub-bags(eq;b)). bag-moebius(eq;c) = if bag-null(b) then 1 else 0 fi  ∈ ℤ
9. IsMonoid(ℤ;λx,y. (x + y);0)
⊢ Σ(p∈[p∈bag-partitions(eq;b)|¬bbag-null(fst(p))]). bag-moebius(eq;snd(p))
= Σ(x∈[x∈sub-bags(eq;b)|¬b(#(x) =z #(b))]). bag-moebius(eq;x)
∈ ℤ

---

Latex:

---

Latex:

1.  T  :  Type
2.  valueall-type(T)
3.  eq  :  EqDecider(T)
4.  b  :  bag(T)
5.  \mneg{}(b  =  \{\})
6.  Assoc(\mBbbZ{};\mlambda{}x,y.  (x  +  y))
7.  Comm(\mBbbZ{};\mlambda{}x,y.  (x  +  y))
8.  \mSigma{}(c\mmember{}sub-bags(eq;b)).  bag-moebius(eq;c)  =  if  bag-null(b)  then  1  else  0  fi 
9.  IsMonoid(\mBbbZ{};\mlambda{}x,y.  (x  +  y);0)
\mvdash{}  (bag-moebius(eq;b)  +  \mSigma{}(p\mmember{}[p\mmember{}bag-partitions(eq;b)|\mneg{}\msubb{}bag-null(fst(p))]).  bag-moebius(eq;snd(p)))
=  \mSigma{}(p\mmember{}sub-bags(eq;b)).  bag-moebius(eq;p)


By

---

Latex:
xxx(Auto
        THEN  (InstLemma  `bag-summation-split`  [\mkleeneopen{}bag(T)\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}\mBbbZ{}\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}\mlambda{}x,y.  (x  +  y)\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}0\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}sub-bags(eq;b)\mkleeneclose{};
                    \mkleeneopen{}\mlambda{}\msubtwo{}p.(\#(p)  =\msubz{}  \#(b))\mkleeneclose{}]\mcdot{}
                    THENA  Auto
                    )
        THEN  Reduce  (-1)
        THEN  (RWO    "-1"  0  THENA  Auto)
        THEN  Thin  (-1)
        THEN  EqCD)xxx

---

Home Index