---

Step * 1 1 2 1 1 1 1 1 1 1 of Lemma combinations-n-intersecting


1. n : ℕ
2. t : ℕ
3. A : Type
4. A ~ ℕ(n * t) + 1
5. Ls : Combination(((n - 1) * t) + 1;A) List
6. ||Ls|| = n ∈ ℤ
7. 0 < (n * t) + 1
8. ∀x,y:A.  Dec(x = y ∈ A)
9. u : A List
10. no_repeats(A;u)
11. ||u|| = (((n - 1) * t) + 1) ∈ ℤ
12. v : Combination(((n - 1) * t) + 1;A) List
13. ∀k:ℕ. ({a:A| (∃L∈v. ¬(a ∈ L))}  ~ ℕk ⇒ (k ≤ (||v|| * t)))
14. k : ℕ
15. {a:A| (∃L∈[u / v]. ¬(a ∈ L))}  ~ ℕk
16. k1 : ℕ
17. {a:A| (∃L∈v. ¬(a ∈ L))}  ~ ℕk1
18. k1 ≤ (||v|| * t)
19. i : ℕ
20. j : ℕ
21. k = (i + j) ∈ ℤ
22. {a:{a:A| (∃L∈[u / v]. ¬(a ∈ L))} | (a ∈ u)}  ~ ℕi
23. {a:{a:A| (∃L∈[u / v]. ¬(a ∈ L))} | ¬(a ∈ u)}  ~ ℕj
24. {a:A| (a ∈ u)}  ~ ℕ((n - 1) * t) + 1
25. {a:A| ¬(a ∈ u)}  ~ ℕ((n * t) + 1) - ((n - 1) * t) + 1
⊢ j ≤ t
BY
{ Subst' ((n * t) + 1) - ((n - 1) * t) + 1 ~ t -1 }

1
.....equality..... 
1. n : ℕ
2. t : ℕ
3. A : Type
4. A ~ ℕ(n * t) + 1
5. Ls : Combination(((n - 1) * t) + 1;A) List
6. ||Ls|| = n ∈ ℤ
7. 0 < (n * t) + 1
8. ∀x,y:A.  Dec(x = y ∈ A)
9. u : A List
10. no_repeats(A;u)
11. ||u|| = (((n - 1) * t) + 1) ∈ ℤ
12. v : Combination(((n - 1) * t) + 1;A) List
13. ∀k:ℕ. ({a:A| (∃L∈v. ¬(a ∈ L))}  ~ ℕk ⇒ (k ≤ (||v|| * t)))
14. k : ℕ
15. {a:A| (∃L∈[u / v]. ¬(a ∈ L))}  ~ ℕk
16. k1 : ℕ
17. {a:A| (∃L∈v. ¬(a ∈ L))}  ~ ℕk1
18. k1 ≤ (||v|| * t)
19. i : ℕ
20. j : ℕ
21. k = (i + j) ∈ ℤ
22. {a:{a:A| (∃L∈[u / v]. ¬(a ∈ L))} | (a ∈ u)}  ~ ℕi
23. {a:{a:A| (∃L∈[u / v]. ¬(a ∈ L))} | ¬(a ∈ u)}  ~ ℕj
24. {a:A| (a ∈ u)}  ~ ℕ((n - 1) * t) + 1
25. {a:A| ¬(a ∈ u)}  ~ ℕ((n * t) + 1) - ((n - 1) * t) + 1
⊢ ((n * t) + 1) - ((n - 1) * t) + 1 ~ t

2
1. n : ℕ
2. t : ℕ
3. A : Type
4. A ~ ℕ(n * t) + 1
5. Ls : Combination(((n - 1) * t) + 1;A) List
6. ||Ls|| = n ∈ ℤ
7. 0 < (n * t) + 1
8. ∀x,y:A.  Dec(x = y ∈ A)
9. u : A List
10. no_repeats(A;u)
11. ||u|| = (((n - 1) * t) + 1) ∈ ℤ
12. v : Combination(((n - 1) * t) + 1;A) List
13. ∀k:ℕ. ({a:A| (∃L∈v. ¬(a ∈ L))}  ~ ℕk ⇒ (k ≤ (||v|| * t)))
14. k : ℕ
15. {a:A| (∃L∈[u / v]. ¬(a ∈ L))}  ~ ℕk
16. k1 : ℕ
17. {a:A| (∃L∈v. ¬(a ∈ L))}  ~ ℕk1
18. k1 ≤ (||v|| * t)
19. i : ℕ
20. j : ℕ
21. k = (i + j) ∈ ℤ
22. {a:{a:A| (∃L∈[u / v]. ¬(a ∈ L))} | (a ∈ u)}  ~ ℕi
23. {a:{a:A| (∃L∈[u / v]. ¬(a ∈ L))} | ¬(a ∈ u)}  ~ ℕj
24. {a:A| (a ∈ u)}  ~ ℕ((n - 1) * t) + 1
25. {a:A| ¬(a ∈ u)}  ~ ℕt
⊢ j ≤ t

---

Latex:

---

Latex:

1.  n  :  \mBbbN{}
2.  t  :  \mBbbN{}
3.  A  :  Type
4.  A  \msim{}  \mBbbN{}(n  *  t)  +  1
5.  Ls  :  Combination(((n  -  1)  *  t)  +  1;A)  List
6.  ||Ls||  =  n
7.  0  <  (n  *  t)  +  1
8.  \mforall{}x,y:A.    Dec(x  =  y)
9.  u  :  A  List
10.  no\_repeats(A;u)
11.  ||u||  =  (((n  -  1)  *  t)  +  1)
12.  v  :  Combination(((n  -  1)  *  t)  +  1;A)  List
13.  \mforall{}k:\mBbbN{}.  (\{a:A|  (\mexists{}L\mmember{}v.  \mneg{}(a  \mmember{}  L))\}    \msim{}  \mBbbN{}k  {}\mRightarrow{}  (k  \mleq{}  (||v||  *  t)))
14.  k  :  \mBbbN{}
15.  \{a:A|  (\mexists{}L\mmember{}[u  /  v].  \mneg{}(a  \mmember{}  L))\}    \msim{}  \mBbbN{}k
16.  k1  :  \mBbbN{}
17.  \{a:A|  (\mexists{}L\mmember{}v.  \mneg{}(a  \mmember{}  L))\}    \msim{}  \mBbbN{}k1
18.  k1  \mleq{}  (||v||  *  t)
19.  i  :  \mBbbN{}
20.  j  :  \mBbbN{}
21.  k  =  (i  +  j)
22.  \{a:\{a:A|  (\mexists{}L\mmember{}[u  /  v].  \mneg{}(a  \mmember{}  L))\}  |  (a  \mmember{}  u)\}    \msim{}  \mBbbN{}i
23.  \{a:\{a:A|  (\mexists{}L\mmember{}[u  /  v].  \mneg{}(a  \mmember{}  L))\}  |  \mneg{}(a  \mmember{}  u)\}    \msim{}  \mBbbN{}j
24.  \{a:A|  (a  \mmember{}  u)\}    \msim{}  \mBbbN{}((n  -  1)  *  t)  +  1
25.  \{a:A|  \mneg{}(a  \mmember{}  u)\}    \msim{}  \mBbbN{}((n  *  t)  +  1)  -  ((n  -  1)  *  t)  +  1
\mvdash{}  j  \mleq{}  t


By

---

Latex:
Subst'  ((n  *  t)  +  1)  -  ((n  -  1)  *  t)  +  1  \msim{}  t  -1

---

Home Index