---

Step * 1 2 2 2 1 1 1 1 of Lemma exp-ratio-property


1. a : ℕ@i
2. b : {a + 1...}@i
3. k : ℕ@i
4. ∀m:ℕ+. ((a^m + (m * a^m - 1)) ≤ b^m)
5. ¬(k = 0 ∈ ℤ)
6. ¬(a = 0 ∈ ℤ)
7. (a^a * k + ((a * k) * a^(a * k) - 1)) ≤ b^a * k
8. a * k ∈ ℕ+
9. a^((a * k) - 1) + 1 = (a^(a * k) - 1 * a^1) ∈ ℤ
⊢ k * a^a * k < a^a * k + ((a * k) * a^(a * k) - 1)
BY
{ (Subst ⌜((a * k) - 1) + 1 ~ a * k⌝ (-1)⋅ THENA Auto) }

1
1. a : ℕ@i
2. b : {a + 1...}@i
3. k : ℕ@i
4. ∀m:ℕ+. ((a^m + (m * a^m - 1)) ≤ b^m)
5. ¬(k = 0 ∈ ℤ)
6. ¬(a = 0 ∈ ℤ)
7. (a^a * k + ((a * k) * a^(a * k) - 1)) ≤ b^a * k
8. a * k ∈ ℕ+
9. a^a * k = (a^(a * k) - 1 * a^1) ∈ ℤ
⊢ k * a^a * k < a^a * k + ((a * k) * a^(a * k) - 1)

---

Latex:

---

Latex:

1.  a  :  \mBbbN{}@i
2.  b  :  \{a  +  1...\}@i
3.  k  :  \mBbbN{}@i
4.  \mforall{}m:\mBbbN{}\msupplus{}.  ((a\^{}m  +  (m  *  a\^{}m  -  1))  \mleq{}  b\^{}m)
5.  \mneg{}(k  =  0)
6.  \mneg{}(a  =  0)
7.  (a\^{}a  *  k  +  ((a  *  k)  *  a\^{}(a  *  k)  -  1))  \mleq{}  b\^{}a  *  k
8.  a  *  k  \mmember{}  \mBbbN{}\msupplus{}
9.  a\^{}((a  *  k)  -  1)  +  1  =  (a\^{}(a  *  k)  -  1  *  a\^{}1)
\mvdash{}  k  *  a\^{}a  *  k  <  a\^{}a  *  k  +  ((a  *  k)  *  a\^{}(a  *  k)  -  1)


By

---

Latex:
(Subst  \mkleeneopen{}((a  *  k)  -  1)  +  1  \msim{}  a  *  k\mkleeneclose{}  (-1)\mcdot{}  THENA  Auto)

---

Home Index