---

Step * 1 of Lemma expfact_wf

.....assertion..... 
1. m : ℕ+
2. k : ℕ
3. n : ℕ+
4. b : {b:ℕ| n * k^b < (b)!} @i
5. m ≤ b@i
⊢ ∀d:ℕ. (d < b ⇒ (expfact(b - d;k;n * k^b - d;(b - d)!) ∈ {b:ℕ+| (n * k^b) ≤ (b)!} ))
BY
{ (InductionOnNat THEN (D 0 THENA Auto) THEN RecUnfold `expfact` 0 THEN (SplitOnConclITE THENA Auto)) }

1
.....truecase..... 
1. m : ℕ+
2. k : ℕ
3. n : ℕ+
4. b : {b:ℕ| n * k^b < (b)!} @i
5. m ≤ b@i
6. d : ℤ
7. 0 < b@i
8. (n * k^b - 0) ≤ (b - 0)!
⊢ b - 0 ∈ {b:ℕ+| (n * k^b) ≤ (b)!} 

2
.....falsecase..... 
1. m : ℕ+
2. k : ℕ
3. n : ℕ+
4. b : {b:ℕ| n * k^b < (b)!} @i
5. m ≤ b@i
6. d : ℤ
7. 0 < b@i
8. (b - 0)! < n * k^b - 0
⊢ eval n' = (b - 0) + 1 in
  eval p' = k * n * k^b - 0 in
  eval b' = n' * (b - 0)! in
    expfact(n';k;p';b') ∈ {b:ℕ+| (n * k^b) ≤ (b)!} 

3
.....truecase..... 
1. m : ℕ+
2. k : ℕ
3. n : ℕ+
4. b : {b:ℕ| n * k^b < (b)!} @i
5. m ≤ b@i
6. d : ℤ
7. 0 < d
8. d - 1 < b ⇒ (expfact(b - d - 1;k;n * k^b - d - 1;(b - d - 1)!) ∈ {b:ℕ+| (n * k^b) ≤ (b)!} )
9. d < b@i
10. (n * k^b - d) ≤ (b - d)!
⊢ b - d ∈ {b:ℕ+| (n * k^b) ≤ (b)!} 

4
.....falsecase..... 
1. m : ℕ+
2. k : ℕ
3. n : ℕ+
4. b : {b:ℕ| n * k^b < (b)!} @i
5. m ≤ b@i
6. d : ℤ
7. 0 < d
8. d - 1 < b ⇒ (expfact(b - d - 1;k;n * k^b - d - 1;(b - d - 1)!) ∈ {b:ℕ+| (n * k^b) ≤ (b)!} )
9. d < b@i
10. (b - d)! < n * k^b - d
⊢ eval n' = (b - d) + 1 in
  eval p' = k * n * k^b - d in
  eval b' = n' * (b - d)! in
    expfact(n';k;p';b') ∈ {b:ℕ+| (n * k^b) ≤ (b)!} 

---

Latex:

---

Latex:
.....assertion..... 
1.  m  :  \mBbbN{}\msupplus{}
2.  k  :  \mBbbN{}
3.  n  :  \mBbbN{}\msupplus{}
4.  b  :  \{b:\mBbbN{}|  n  *  k\^{}b  <  (b)!\}  @i
5.  m  \mleq{}  b@i
\mvdash{}  \mforall{}d:\mBbbN{}.  (d  <  b  {}\mRightarrow{}  (expfact(b  -  d;k;n  *  k\^{}b  -  d;(b  -  d)!)  \mmember{}  \{b:\mBbbN{}\msupplus{}|  (n  *  k\^{}b)  \mleq{}  (b)!\}  ))


By

---

Latex:
(InductionOnNat  THEN  (D  0  THENA  Auto)  THEN  RecUnfold  `expfact`  0  THEN  (SplitOnConclITE  THENA  Auto))

---

Home Index