---

Step * 1 2 1 1 1 1 1 of Lemma lexico_well_fnd

.....antecedent..... 
1. [T] : Type
2. [R] : T ⟶ T ⟶ ℙ
3. WellFnd{i}(T;a,b.R[a;b])
4. m : ℤ
5. [%2] : 0 < m
6. lexico(T; a,b.R[a;b]) ∈ (T List) ⟶ (T List) ⟶ ℙ
7. WellFnd{i}({L:T List| ||L|| = (m - 1) ∈ ℕ} ;as,bs.as lexico(T; a,b.R[a;b]) bs)
8. WellFnd{i}(T × {L:T List| ||L|| = (m - 1) ∈ ℕ} ;p1,p2.let a1,b1 = p1 
                                                        in let a2,b2 = p2 
                                                           in R[a1;a2]
                                                              ∨ ((a1 = a2 ∈ T) ∧ (b1 lexico(T; a,b.R[a;b]) b2)))
9. ∀[P:{L:T List| ||L|| = m ∈ ℕ}  ⟶ ℙ]
     ((∀j:{L:T List| ||L|| = m ∈ ℕ} 
         ((∀k:{L:T List| ||L|| = m ∈ ℕ} 
             ((R[hd(k);hd(j)] ∨ ((hd(k) = hd(j) ∈ T) ∧ (tl(k) lexico(T; a,b.R[a;b]) tl(j)))) ⇒ P[k]))
         ⇒ P[j]))
     ⇒ {∀n:{L:T List| ||L|| = m ∈ ℕ} . P[n]})
10. [P] : {L:T List| ||L|| = m ∈ ℕ}  ⟶ ℙ
11. ∀j:{L:T List| ||L|| = m ∈ ℕ} . ((∀k:{L:T List| ||L|| = m ∈ ℕ} . ((k lexico(T; a,b.R[a;b]) j) ⇒ P[k])) ⇒ P[j])
12. j : {L:T List| ||L|| = m ∈ ℕ} 
13. k : {L:T List| ||L|| = m ∈ ℕ} 
14. k lexico(T; a,b.R[a;b]) j
⊢ R[hd(k);hd(j)] ∨ ((hd(k) = hd(j) ∈ T) ∧ (tl(k) lexico(T; a,b.R[a;b]) tl(j)))
BY
{ (RepUR ``lexico`` (-1) THEN D -1 THEN ExRepD) }

1
1. [T] : Type
2. [R] : T ⟶ T ⟶ ℙ
3. WellFnd{i}(T;a,b.R[a;b])
4. m : ℤ
5. [%2] : 0 < m
6. lexico(T; a,b.R[a;b]) ∈ (T List) ⟶ (T List) ⟶ ℙ
7. WellFnd{i}({L:T List| ||L|| = (m - 1) ∈ ℕ} ;as,bs.as lexico(T; a,b.R[a;b]) bs)
8. WellFnd{i}(T × {L:T List| ||L|| = (m - 1) ∈ ℕ} ;p1,p2.let a1,b1 = p1 
                                                        in let a2,b2 = p2 
                                                           in R[a1;a2]
                                                              ∨ ((a1 = a2 ∈ T) ∧ (b1 lexico(T; a,b.R[a;b]) b2)))
9. ∀[P:{L:T List| ||L|| = m ∈ ℕ}  ⟶ ℙ]
     ((∀j:{L:T List| ||L|| = m ∈ ℕ} 
         ((∀k:{L:T List| ||L|| = m ∈ ℕ} 
             ((R[hd(k);hd(j)] ∨ ((hd(k) = hd(j) ∈ T) ∧ (tl(k) lexico(T; a,b.R[a;b]) tl(j)))) ⇒ P[k]))
         ⇒ P[j]))
     ⇒ {∀n:{L:T List| ||L|| = m ∈ ℕ} . P[n]})
10. [P] : {L:T List| ||L|| = m ∈ ℕ}  ⟶ ℙ
11. ∀j:{L:T List| ||L|| = m ∈ ℕ} . ((∀k:{L:T List| ||L|| = m ∈ ℕ} . ((k lexico(T; a,b.R[a;b]) j) ⇒ P[k])) ⇒ P[j])
12. j : {L:T List| ||L|| = m ∈ ℕ} 
13. k : {L:T List| ||L|| = m ∈ ℕ} 
14. ||k|| < ||j||
⊢ R[hd(k);hd(j)] ∨ ((hd(k) = hd(j) ∈ T) ∧ (tl(k) lexico(T; a,b.R[a;b]) tl(j)))

2
1. [T] : Type
2. [R] : T ⟶ T ⟶ ℙ
3. WellFnd{i}(T;a,b.R[a;b])
4. m : ℤ
5. [%2] : 0 < m
6. lexico(T; a,b.R[a;b]) ∈ (T List) ⟶ (T List) ⟶ ℙ
7. WellFnd{i}({L:T List| ||L|| = (m - 1) ∈ ℕ} ;as,bs.as lexico(T; a,b.R[a;b]) bs)
8. WellFnd{i}(T × {L:T List| ||L|| = (m - 1) ∈ ℕ} ;p1,p2.let a1,b1 = p1 
                                                        in let a2,b2 = p2 
                                                           in R[a1;a2]
                                                              ∨ ((a1 = a2 ∈ T) ∧ (b1 lexico(T; a,b.R[a;b]) b2)))
9. ∀[P:{L:T List| ||L|| = m ∈ ℕ}  ⟶ ℙ]
     ((∀j:{L:T List| ||L|| = m ∈ ℕ} 
         ((∀k:{L:T List| ||L|| = m ∈ ℕ} 
             ((R[hd(k);hd(j)] ∨ ((hd(k) = hd(j) ∈ T) ∧ (tl(k) lexico(T; a,b.R[a;b]) tl(j)))) ⇒ P[k]))
         ⇒ P[j]))
     ⇒ {∀n:{L:T List| ||L|| = m ∈ ℕ} . P[n]})
10. [P] : {L:T List| ||L|| = m ∈ ℕ}  ⟶ ℙ
11. ∀j:{L:T List| ||L|| = m ∈ ℕ} . ((∀k:{L:T List| ||L|| = m ∈ ℕ} . ((k lexico(T; a,b.R[a;b]) j) ⇒ P[k])) ⇒ P[j])
12. j : {L:T List| ||L|| = m ∈ ℕ} 
13. k : {L:T List| ||L|| = m ∈ ℕ} 
14. ||k|| = ||j|| ∈ ℤ
15. i : ℕ||k||
16. R[k[i];j[i]]
17. ∀j@0:ℕi. (k[j@0] = j[j@0] ∈ T)
⊢ R[hd(k);hd(j)] ∨ ((hd(k) = hd(j) ∈ T) ∧ (tl(k) lexico(T; a,b.R[a;b]) tl(j)))

---

Latex:

---

Latex:
.....antecedent..... 
1.  [T]  :  Type
2.  [R]  :  T  {}\mrightarrow{}  T  {}\mrightarrow{}  \mBbbP{}
3.  WellFnd\{i\}(T;a,b.R[a;b])
4.  m  :  \mBbbZ{}
5.  [\%2]  :  0  <  m
6.  lexico(T;  a,b.R[a;b])  \mmember{}  (T  List)  {}\mrightarrow{}  (T  List)  {}\mrightarrow{}  \mBbbP{}
7.  WellFnd\{i\}(\{L:T  List|  ||L||  =  (m  -  1)\}  ;as,bs.as  lexico(T;  a,b.R[a;b])  bs)
8.  WellFnd\{i\}(T  \mtimes{}  \{L:T  List|  ||L||  =  (m  -  1)\}  ;p1,p2.let  a1,b1  =  p1 
                                                                                                        in  let  a2,b2  =  p2 
                                                                                                              in  R[a1;a2]
                                                                                                                    \mvee{}  ((a1  =  a2)
                                                                                                                        \mwedge{}  (b1  lexico(T;  a,b.R[a;b])  b2)))
9.  \mforall{}[P:\{L:T  List|  ||L||  =  m\}    {}\mrightarrow{}  \mBbbP{}]
          ((\mforall{}j:\{L:T  List|  ||L||  =  m\} 
                  ((\mforall{}k:\{L:T  List|  ||L||  =  m\} 
                          ((R[hd(k);hd(j)]  \mvee{}  ((hd(k)  =  hd(j))  \mwedge{}  (tl(k)  lexico(T;  a,b.R[a;b])  tl(j))))  {}\mRightarrow{}  P[k]))
                  {}\mRightarrow{}  P[j]))
          {}\mRightarrow{}  \{\mforall{}n:\{L:T  List|  ||L||  =  m\}  .  P[n]\})
10.  [P]  :  \{L:T  List|  ||L||  =  m\}    {}\mrightarrow{}  \mBbbP{}
11.  \mforall{}j:\{L:T  List|  ||L||  =  m\} 
            ((\mforall{}k:\{L:T  List|  ||L||  =  m\}  .  ((k  lexico(T;  a,b.R[a;b])  j)  {}\mRightarrow{}  P[k]))  {}\mRightarrow{}  P[j])
12.  j  :  \{L:T  List|  ||L||  =  m\} 
13.  k  :  \{L:T  List|  ||L||  =  m\} 
14.  k  lexico(T;  a,b.R[a;b])  j
\mvdash{}  R[hd(k);hd(j)]  \mvee{}  ((hd(k)  =  hd(j))  \mwedge{}  (tl(k)  lexico(T;  a,b.R[a;b])  tl(j)))


By

---

Latex:
(RepUR  ``lexico``  (-1)  THEN  D  -1  THEN  ExRepD)

---

Home Index