---

Step * 1 1 1 1 1 of Lemma rel-immediate-rel-plus


1. [T] : Type
2. [R] : T ⟶ T ⟶ ℙ
3. f : T ⟶ ℕ
4. ∀x,y:T.  ((R x y) ⇒ f x < f y)
5. ∀x,y:T.  Dec(∃z:T. ((R x z) ∧ (R z y)))
6. d : ℕ
7. ∀d:ℕd. ∀x,y:T.  ((((f y) - f x) ≤ d) ⇒ (x R y) ⇒ (∃n:ℕ+. (R!^n x y)))
8. x : T
9. y : T
10. ((f y) - f x) ≤ d
11. x R y
⊢ ∃n:ℕ+. (R!^n x y)
BY
{ (Decide (∃z:T. ((R x z) ∧ (R z y)))⋅ THENA Auto) }

1
1. [T] : Type
2. [R] : T ⟶ T ⟶ ℙ
3. f : T ⟶ ℕ
4. ∀x,y:T.  ((R x y) ⇒ f x < f y)
5. ∀x,y:T.  Dec(∃z:T. ((R x z) ∧ (R z y)))
6. d : ℕ
7. ∀d:ℕd. ∀x,y:T.  ((((f y) - f x) ≤ d) ⇒ (x R y) ⇒ (∃n:ℕ+. (R!^n x y)))
8. x : T
9. y : T
10. ((f y) - f x) ≤ d
11. x R y
12. ∃z:T. ((R x z) ∧ (R z y))
⊢ ∃n:ℕ+. (R!^n x y)

2
1. [T] : Type
2. [R] : T ⟶ T ⟶ ℙ
3. f : T ⟶ ℕ
4. ∀x,y:T.  ((R x y) ⇒ f x < f y)
5. ∀x,y:T.  Dec(∃z:T. ((R x z) ∧ (R z y)))
6. d : ℕ
7. ∀d:ℕd. ∀x,y:T.  ((((f y) - f x) ≤ d) ⇒ (x R y) ⇒ (∃n:ℕ+. (R!^n x y)))
8. x : T
9. y : T
10. ((f y) - f x) ≤ d
11. x R y
12. ¬(∃z:T. ((R x z) ∧ (R z y)))
⊢ ∃n:ℕ+. (R!^n x y)

---

Latex:

---

Latex:

1.  [T]  :  Type
2.  [R]  :  T  {}\mrightarrow{}  T  {}\mrightarrow{}  \mBbbP{}
3.  f  :  T  {}\mrightarrow{}  \mBbbN{}
4.  \mforall{}x,y:T.    ((R  x  y)  {}\mRightarrow{}  f  x  <  f  y)
5.  \mforall{}x,y:T.    Dec(\mexists{}z:T.  ((R  x  z)  \mwedge{}  (R  z  y)))
6.  d  :  \mBbbN{}
7.  \mforall{}d:\mBbbN{}d.  \mforall{}x,y:T.    ((((f  y)  -  f  x)  \mleq{}  d)  {}\mRightarrow{}  (x  R  y)  {}\mRightarrow{}  (\mexists{}n:\mBbbN{}\msupplus{}.  (rel\_exp(T;  R!;  n)  x  y)))
8.  x  :  T
9.  y  :  T
10.  ((f  y)  -  f  x)  \mleq{}  d
11.  x  R  y
\mvdash{}  \mexists{}n:\mBbbN{}\msupplus{}.  (rel\_exp(T;  R!;  n)  x  y)


By

---

Latex:
(Decide  (\mexists{}z:T.  ((R  x  z)  \mwedge{}  (R  z  y)))\mcdot{}  THENA  Auto)

---

Home Index