---

Step * 1 1 1 1 1 1 of Lemma rel-immediate-rel-plus


1. [T] : Type
2. [R] : T ⟶ T ⟶ ℙ
3. f : T ⟶ ℕ
4. ∀x,y:T.  ((R x y) ⇒ f x < f y)
5. ∀x,y:T.  Dec(∃z:T. ((R x z) ∧ (R z y)))
6. d : ℕ
7. ∀d:ℕd. ∀x,y:T.  ((((f y) - f x) ≤ d) ⇒ (x R y) ⇒ (∃n:ℕ+. (R!^n x y)))
8. x : T
9. y : T
10. ((f y) - f x) ≤ d
11. x R y
12. ∃z:T. ((R x z) ∧ (R z y))
⊢ ∃n:ℕ+. (R!^n x y)
BY
{ (ExRepD
   THEN (Assert f x < f z BY
               Auto)
   THEN (Assert f z < f y BY
               Auto)
   THEN ((InstHyp [⌜(f z) - f x⌝; ⌜x⌝; ⌜z⌝] 7)⋅ THENA Auto')
   THEN ((InstHyp [⌜(f y) - f z⌝; ⌜z⌝; ⌜y⌝] 7)⋅ THENA Auto'))⋅ }

1
1. [T] : Type
2. [R] : T ⟶ T ⟶ ℙ
3. f : T ⟶ ℕ
4. ∀x,y:T.  ((R x y) ⇒ f x < f y)
5. ∀x,y:T.  Dec(∃z:T. ((R x z) ∧ (R z y)))
6. d : ℕ
7. ∀d:ℕd. ∀x,y:T.  ((((f y) - f x) ≤ d) ⇒ (x R y) ⇒ (∃n:ℕ+. (R!^n x y)))
8. x : T
9. y : T
10. ((f y) - f x) ≤ d
11. x R y
12. z : T
13. R x z
14. R z y
15. f x < f z
16. f z < f y
17. ∃n:ℕ+. (R!^n x z)
18. ∃n:ℕ+. (R!^n z y)
⊢ ∃n:ℕ+. (R!^n x y)

---

Latex:

---

Latex:

1.  [T]  :  Type
2.  [R]  :  T  {}\mrightarrow{}  T  {}\mrightarrow{}  \mBbbP{}
3.  f  :  T  {}\mrightarrow{}  \mBbbN{}
4.  \mforall{}x,y:T.    ((R  x  y)  {}\mRightarrow{}  f  x  <  f  y)
5.  \mforall{}x,y:T.    Dec(\mexists{}z:T.  ((R  x  z)  \mwedge{}  (R  z  y)))
6.  d  :  \mBbbN{}
7.  \mforall{}d:\mBbbN{}d.  \mforall{}x,y:T.    ((((f  y)  -  f  x)  \mleq{}  d)  {}\mRightarrow{}  (x  R  y)  {}\mRightarrow{}  (\mexists{}n:\mBbbN{}\msupplus{}.  (rel\_exp(T;  R!;  n)  x  y)))
8.  x  :  T
9.  y  :  T
10.  ((f  y)  -  f  x)  \mleq{}  d
11.  x  R  y
12.  \mexists{}z:T.  ((R  x  z)  \mwedge{}  (R  z  y))
\mvdash{}  \mexists{}n:\mBbbN{}\msupplus{}.  (rel\_exp(T;  R!;  n)  x  y)


By

---

Latex:
(ExRepD
  THEN  (Assert  f  x  <  f  z  BY
                          Auto)
  THEN  (Assert  f  z  <  f  y  BY
                          Auto)
  THEN  ((InstHyp  [\mkleeneopen{}(f  z)  -  f  x\mkleeneclose{};  \mkleeneopen{}x\mkleeneclose{};  \mkleeneopen{}z\mkleeneclose{}]  7)\mcdot{}  THENA  Auto')
  THEN  ((InstHyp  [\mkleeneopen{}(f  y)  -  f  z\mkleeneclose{};  \mkleeneopen{}z\mkleeneclose{};  \mkleeneopen{}y\mkleeneclose{}]  7)\mcdot{}  THENA  Auto'))\mcdot{}

---

Home Index