---

Step * 1 2 1 1 1 1 2 1 3 of Lemma wellfounded-llex

.....wf..... 
1. A : Type
2. < : A ⟶ A ⟶ ℙ
3. ∀a,b:A.  SqStable(<[a;b])
4. ∀[P:A ⟶ ℙ]. ((∀j:A. ((∀k:A. (<[k;j] ⇒ P[k])) ⇒ P[j])) ⇒ (∀n:A. P[n]))
5. P : Des(A;a,b.<[a;b]) ⟶ ℙ
6. ∀j:Des(A;a,b.<[a;b]). ((∀k:Des(A;a,b.<[a;b]). ((k llex(A;a,b.<[a;b]) j) ⇒ P[k])) ⇒ P[j])
7. ∀[a:A]. ∀[m,k:Des(A;a,b.<[a;b])].  (descending(a,b.<[a;b];m @ [a / k]) ∈ ℙ)
8. ∀[a:A]. ∀[m:Des(A;a,b.<[a;b])].  ({k:Des(A;a,b.<[a;b])| descending(a,b.<[a;b];m @ [a / k])}  ∈ Type)
9. j : A
10. ∀k:A
      (<[k;j]
      ⇒ (∀m:Des(A;a,b.<[a;b])
            ((∀L:Des(A;a,b.<[a;b]). ((L llex(A;a,b.<[a;b]) m) ⇒ P[L]))
            ⇒ (∀k@0:{k@0:Des(A;a,b.<[a;b])| descending(a,b.<[a;b];m @ [k / k@0])} . P[m @ [k / k@0]]))))
11. m : Des(A;a,b.<[a;b])
12. ∀L:Des(A;a,b.<[a;b]). ((L llex(A;a,b.<[a;b]) m) ⇒ P[L])
13. u : A
14. v : A List
15. descending(a,b.<[a;b];[u / v])
16. descending(a,b.<[a;b];m @ [j; [u / v]])
17. P[m]
18. ∀l:Des(A;a,b.<[a;b]). ((l llex(A;a,b.<[a;b]) (m @ [j])) ⇒ P[l])
19. P[m @ [j]]
⊢ v ∈ {k@0:Des(A;a,b.<[a;b])| descending(a,b.<[a;b];(m @ [j]) @ [u / k@0])} 
BY
{ TACTIC:(MemTypeCD THEN Auto) }

1
1. A : Type
2. < : A ⟶ A ⟶ ℙ
3. ∀a,b:A.  SqStable(<[a;b])
4. ∀[P:A ⟶ ℙ]. ((∀j:A. ((∀k:A. (<[k;j] ⇒ P[k])) ⇒ P[j])) ⇒ (∀n:A. P[n]))
5. P : Des(A;a,b.<[a;b]) ⟶ ℙ
6. ∀j:Des(A;a,b.<[a;b]). ((∀k:Des(A;a,b.<[a;b]). ((k llex(A;a,b.<[a;b]) j) ⇒ P[k])) ⇒ P[j])
7. ∀[a:A]. ∀[m,k:Des(A;a,b.<[a;b])].  (descending(a,b.<[a;b];m @ [a / k]) ∈ ℙ)
8. ∀[a:A]. ∀[m:Des(A;a,b.<[a;b])].  ({k:Des(A;a,b.<[a;b])| descending(a,b.<[a;b];m @ [a / k])}  ∈ Type)
9. j : A
10. ∀k:A
      (<[k;j]
      ⇒ (∀m:Des(A;a,b.<[a;b])
            ((∀L:Des(A;a,b.<[a;b]). ((L llex(A;a,b.<[a;b]) m) ⇒ P[L]))
            ⇒ (∀k@0:{k@0:Des(A;a,b.<[a;b])| descending(a,b.<[a;b];m @ [k / k@0])} . P[m @ [k / k@0]]))))
11. m : Des(A;a,b.<[a;b])
12. ∀L:Des(A;a,b.<[a;b]). ((L llex(A;a,b.<[a;b]) m) ⇒ P[L])
13. u : A
14. v : A List
15. descending(a,b.<[a;b];[u / v])
16. descending(a,b.<[a;b];m @ [j; [u / v]])
17. P[m]
18. ∀l:Des(A;a,b.<[a;b]). ((l llex(A;a,b.<[a;b]) (m @ [j])) ⇒ P[l])
19. P[m @ [j]]
⊢ v ∈ Des(A;a,b.<[a;b])

2
.....set predicate..... 
1. A : Type
2. < : A ⟶ A ⟶ ℙ
3. ∀a,b:A.  SqStable(<[a;b])
4. ∀[P:A ⟶ ℙ]. ((∀j:A. ((∀k:A. (<[k;j] ⇒ P[k])) ⇒ P[j])) ⇒ (∀n:A. P[n]))
5. P : Des(A;a,b.<[a;b]) ⟶ ℙ
6. ∀j:Des(A;a,b.<[a;b]). ((∀k:Des(A;a,b.<[a;b]). ((k llex(A;a,b.<[a;b]) j) ⇒ P[k])) ⇒ P[j])
7. ∀[a:A]. ∀[m,k:Des(A;a,b.<[a;b])].  (descending(a,b.<[a;b];m @ [a / k]) ∈ ℙ)
8. ∀[a:A]. ∀[m:Des(A;a,b.<[a;b])].  ({k:Des(A;a,b.<[a;b])| descending(a,b.<[a;b];m @ [a / k])}  ∈ Type)
9. j : A
10. ∀k:A
      (<[k;j]
      ⇒ (∀m:Des(A;a,b.<[a;b])
            ((∀L:Des(A;a,b.<[a;b]). ((L llex(A;a,b.<[a;b]) m) ⇒ P[L]))
            ⇒ (∀k@0:{k@0:Des(A;a,b.<[a;b])| descending(a,b.<[a;b];m @ [k / k@0])} . P[m @ [k / k@0]]))))
11. m : Des(A;a,b.<[a;b])
12. ∀L:Des(A;a,b.<[a;b]). ((L llex(A;a,b.<[a;b]) m) ⇒ P[L])
13. u : A
14. v : A List
15. descending(a,b.<[a;b];[u / v])
16. descending(a,b.<[a;b];m @ [j; [u / v]])
17. P[m]
18. ∀l:Des(A;a,b.<[a;b]). ((l llex(A;a,b.<[a;b]) (m @ [j])) ⇒ P[l])
19. P[m @ [j]]
⊢ descending(a,b.<[a;b];(m @ [j]) @ [u / v])

---

Latex:

---

Latex:
.....wf..... 
1.  A  :  Type
2.  <  :  A  {}\mrightarrow{}  A  {}\mrightarrow{}  \mBbbP{}
3.  \mforall{}a,b:A.    SqStable(<[a;b])
4.  \mforall{}[P:A  {}\mrightarrow{}  \mBbbP{}].  ((\mforall{}j:A.  ((\mforall{}k:A.  (<[k;j]  {}\mRightarrow{}  P[k]))  {}\mRightarrow{}  P[j]))  {}\mRightarrow{}  (\mforall{}n:A.  P[n]))
5.  P  :  Des(A;a,b.<[a;b])  {}\mrightarrow{}  \mBbbP{}
6.  \mforall{}j:Des(A;a,b.<[a;b]).  ((\mforall{}k:Des(A;a,b.<[a;b]).  ((k  llex(A;a,b.<[a;b])  j)  {}\mRightarrow{}  P[k]))  {}\mRightarrow{}  P[j])
7.  \mforall{}[a:A].  \mforall{}[m,k:Des(A;a,b.<[a;b])].    (descending(a,b.<[a;b];m  @  [a  /  k])  \mmember{}  \mBbbP{})
8.  \mforall{}[a:A].  \mforall{}[m:Des(A;a,b.<[a;b])].
          (\{k:Des(A;a,b.<[a;b])|  descending(a,b.<[a;b];m  @  [a  /  k])\}    \mmember{}  Type)
9.  j  :  A
10.  \mforall{}k:A
            (<[k;j]
            {}\mRightarrow{}  (\mforall{}m:Des(A;a,b.<[a;b])
                        ((\mforall{}L:Des(A;a,b.<[a;b]).  ((L  llex(A;a,b.<[a;b])  m)  {}\mRightarrow{}  P[L]))
                        {}\mRightarrow{}  (\mforall{}k@0:\{k@0:Des(A;a,b.<[a;b])|  descending(a,b.<[a;b];m  @  [k  /  k@0])\} 
                                    P[m  @  [k  /  k@0]]))))
11.  m  :  Des(A;a,b.<[a;b])
12.  \mforall{}L:Des(A;a,b.<[a;b]).  ((L  llex(A;a,b.<[a;b])  m)  {}\mRightarrow{}  P[L])
13.  u  :  A
14.  v  :  A  List
15.  descending(a,b.<[a;b];[u  /  v])
16.  descending(a,b.<[a;b];m  @  [j;  [u  /  v]])
17.  P[m]
18.  \mforall{}l:Des(A;a,b.<[a;b]).  ((l  llex(A;a,b.<[a;b])  (m  @  [j]))  {}\mRightarrow{}  P[l])
19.  P[m  @  [j]]
\mvdash{}  v  \mmember{}  \{k@0:Des(A;a,b.<[a;b])|  descending(a,b.<[a;b];(m  @  [j])  @  [u  /  k@0])\} 


By

---

Latex:
TACTIC:(MemTypeCD  THEN  Auto)

---

Home Index