---

Step * 2 1 1 1 1 1 1 1 1 of Lemma lattice-extend-wc-meet


1. T : Type
2. eq : EqDecider(T)
3. Cs : T ⟶ fset(fset(T))
4. L : BoundedDistributiveLattice
5. eqL : EqDecider(Point(L))
6. f : T ⟶ Point(L)
7. ∀x:T. ∀c:fset(T).  (c ∈ Cs[x] ⇒ (/\(f"(c)) = 0 ∈ Point(L)))
8. a : {ac:fset(fset(T))| (↑fset-antichain(eq;ac)) ∧ fset-all(ac;a.fset-contains-none(eq;a;x.Cs[x]))} 
9. b : {ac:fset(fset(T))| (↑fset-antichain(eq;ac)) ∧ fset-all(ac;a.fset-contains-none(eq;a;x.Cs[x]))} 
10. ∀[s:fset(fset(T))]. (λls./\(ls)"(λxs.f"(xs)"(s)) = λx./\(f"(x))"(s) ∈ fset(Point(L)))
11. x : Point(L)
12. x1 : fset(Point(L))
13. as : fset(Point(L))
14. x2 : fset(T)
15. x2 ∈ a
16. as = f"(x2) ∈ fset(Point(L))
17. x3 : fset(Point(L))
18. x3 ∈ λxs.f"(xs)"(b)
19. x1 = as ⋃ x3 ∈ fset(Point(L))
20. x = /\(as ⋃ x3) ∈ Point(L)
⊢ x ∈ {0} ⋃ λls./\(ls)"
            (λxs.f"(xs)"
             (f-union(deq-fset(eq);deq-fset(eq);a;as.λbs.as ⋃ bs"(b) s.t. λs.fset-contains-none(eq;s;x.Cs[x]))))
BY
{ ((RWO "member-fset-image-iff" (-3) THENA Auto) THEN ((D -3 THEN (Unhide THENA Auto)) THEN ExRepD) THEN All Reduce) }

1
1. T : Type
2. eq : EqDecider(T)
3. Cs : T ⟶ fset(fset(T))
4. L : BoundedDistributiveLattice
5. eqL : EqDecider(Point(L))
6. f : T ⟶ Point(L)
7. ∀x:T. ∀c:fset(T).  (c ∈ Cs[x] ⇒ (/\(f"(c)) = 0 ∈ Point(L)))
8. a : {ac:fset(fset(T))| (↑fset-antichain(eq;ac)) ∧ fset-all(ac;a.fset-contains-none(eq;a;x.Cs[x]))} 
9. b : {ac:fset(fset(T))| (↑fset-antichain(eq;ac)) ∧ fset-all(ac;a.fset-contains-none(eq;a;x.Cs[x]))} 
10. ∀[s:fset(fset(T))]. (λls./\(ls)"(λxs.f"(xs)"(s)) = λx./\(f"(x))"(s) ∈ fset(Point(L)))
11. x : Point(L)
12. x1 : fset(Point(L))
13. as : fset(Point(L))
14. x2 : fset(T)
15. x2 ∈ a
16. as = f"(x2) ∈ fset(Point(L))
17. x3 : fset(Point(L))
18. x4 : fset(T)
19. x4 ∈ b
20. x3 = f"(x4) ∈ fset(Point(L))
21. x1 = as ⋃ x3 ∈ fset(Point(L))
22. x = /\(as ⋃ x3) ∈ Point(L)
⊢ x ∈ {0} ⋃ λls./\(ls)"
            (λxs.f"(xs)"
             (f-union(deq-fset(eq);deq-fset(eq);a;as.λbs.as ⋃ bs"(b) s.t. λs.fset-contains-none(eq;s;x.Cs[x]))))

---

Latex:

---

Latex:

1.  T  :  Type
2.  eq  :  EqDecider(T)
3.  Cs  :  T  {}\mrightarrow{}  fset(fset(T))
4.  L  :  BoundedDistributiveLattice
5.  eqL  :  EqDecider(Point(L))
6.  f  :  T  {}\mrightarrow{}  Point(L)
7.  \mforall{}x:T.  \mforall{}c:fset(T).    (c  \mmember{}  Cs[x]  {}\mRightarrow{}  (/\mbackslash{}(f"(c))  =  0))
8.  a  :  \{ac:fset(fset(T))| 
                (\muparrow{}fset-antichain(eq;ac))  \mwedge{}  fset-all(ac;a.fset-contains-none(eq;a;x.Cs[x]))\} 
9.  b  :  \{ac:fset(fset(T))| 
                (\muparrow{}fset-antichain(eq;ac))  \mwedge{}  fset-all(ac;a.fset-contains-none(eq;a;x.Cs[x]))\} 
10.  \mforall{}[s:fset(fset(T))].  (\mlambda{}ls./\mbackslash{}(ls)"(\mlambda{}xs.f"(xs)"(s))  =  \mlambda{}x./\mbackslash{}(f"(x))"(s))
11.  x  :  Point(L)
12.  x1  :  fset(Point(L))
13.  as  :  fset(Point(L))
14.  x2  :  fset(T)
15.  x2  \mmember{}  a
16.  as  =  f"(x2)
17.  x3  :  fset(Point(L))
18.  x3  \mmember{}  \mlambda{}xs.f"(xs)"(b)
19.  x1  =  as  \mcup{}  x3
20.  x  =  /\mbackslash{}(as  \mcup{}  x3)
\mvdash{}  x  \mmember{}  \{0\}  \mcup{}  \mlambda{}ls./\mbackslash{}(ls)"
                        (\mlambda{}xs.f"(xs)"
                          (f-union(deq-fset(eq);deq-fset(eq);a;as.\mlambda{}bs.as  \mcup{}  bs"(b)  s.t.  \mlambda{}s....)))


By

---

Latex:
((RWO  "member-fset-image-iff"  (-3)  THENA  Auto)
  THEN  ((D  -3  THEN  (Unhide  THENA  Auto))  THEN  ExRepD)
  THEN  All  Reduce)

---

Home Index