---

Step * 1 1 1 2 1 1 1 of Lemma cross-product-non-zero-implies


1. i : ℕ3
2. r : IntegDom{i}
3. ∀x,y:|r|.  Dec(x = y ∈ |r|)
4. a : ℕ3 ⟶ |r|
5. b : ℕ3 ⟶ |r|
6. ¬(a = 0 ∈ (ℕ3 ⟶ |r|))
7. ¬(b = 0 ∈ (ℕ3 ⟶ |r|))
8. ∀a:ℕ3 ⟶ |r|. ((¬(a = 0 ∈ (ℕ3 ⟶ |r|))) ⇒ (∃i:ℕ3. (¬((a i) = 0 ∈ |r|))))
9. ∀x,y:|r|.  ((x +r (-r y)) = 0 ∈ |r| ⇐⇒ x = y ∈ |r|)
10. ¬((a i) = 0 ∈ |r|)
11. ¬((b i) = 0 ∈ |r|)
12. ¬((b i*a) = (a i*b) ∈ (ℕ3 ⟶ |r|))
⊢ ∃l:{p:ℕ3 ⟶ |r|| ¬(p = 0 ∈ (ℕ3 ⟶ |r|))}  [(((a . l) = 0 ∈ |r|) ∧ (¬((b . l) = 0 ∈ |r|)))]
BY
{ ((Assert ∃j:ℕ3. (¬(((b i) * (a j)) = ((a i) * (b j)) ∈ |r|)) BY
          (SupposeNot
           THEN D -2
           THEN (FunExt THENA Auto)
           THEN RepUR ``vector-mul`` 0
           THEN SupposeNot
           THEN D -3
           THEN Auto))
   THEN D -1
   ) }

1
1. i : ℕ3
2. r : IntegDom{i}
3. ∀x,y:|r|.  Dec(x = y ∈ |r|)
4. a : ℕ3 ⟶ |r|
5. b : ℕ3 ⟶ |r|
6. ¬(a = 0 ∈ (ℕ3 ⟶ |r|))
7. ¬(b = 0 ∈ (ℕ3 ⟶ |r|))
8. ∀a:ℕ3 ⟶ |r|. ((¬(a = 0 ∈ (ℕ3 ⟶ |r|))) ⇒ (∃i:ℕ3. (¬((a i) = 0 ∈ |r|))))
9. ∀x,y:|r|.  ((x +r (-r y)) = 0 ∈ |r| ⇐⇒ x = y ∈ |r|)
10. ¬((a i) = 0 ∈ |r|)
11. ¬((b i) = 0 ∈ |r|)
12. ¬((b i*a) = (a i*b) ∈ (ℕ3 ⟶ |r|))
13. j : ℕ3
14. ¬(((b i) * (a j)) = ((a i) * (b j)) ∈ |r|)
⊢ ∃l:{p:ℕ3 ⟶ |r|| ¬(p = 0 ∈ (ℕ3 ⟶ |r|))}  [(((a . l) = 0 ∈ |r|) ∧ (¬((b . l) = 0 ∈ |r|)))]

---

Latex:

---

Latex:

1.  i  :  \mBbbN{}3
2.  r  :  IntegDom\{i\}
3.  \mforall{}x,y:|r|.    Dec(x  =  y)
4.  a  :  \mBbbN{}3  {}\mrightarrow{}  |r|
5.  b  :  \mBbbN{}3  {}\mrightarrow{}  |r|
6.  \mneg{}(a  =  0)
7.  \mneg{}(b  =  0)
8.  \mforall{}a:\mBbbN{}3  {}\mrightarrow{}  |r|.  ((\mneg{}(a  =  0))  {}\mRightarrow{}  (\mexists{}i:\mBbbN{}3.  (\mneg{}((a  i)  =  0))))
9.  \mforall{}x,y:|r|.    ((x  +r  (-r  y))  =  0  \mLeftarrow{}{}\mRightarrow{}  x  =  y)
10.  \mneg{}((a  i)  =  0)
11.  \mneg{}((b  i)  =  0)
12.  \mneg{}((b  i*a)  =  (a  i*b))
\mvdash{}  \mexists{}l:\{p:\mBbbN{}3  {}\mrightarrow{}  |r||  \mneg{}(p  =  0)\}    [(((a  .  l)  =  0)  \mwedge{}  (\mneg{}((b  .  l)  =  0)))]


By

---

Latex:
((Assert  \mexists{}j:\mBbbN{}3.  (\mneg{}(((b  i)  *  (a  j))  =  ((a  i)  *  (b  j))))  BY
                (SupposeNot
                  THEN  D  -2
                  THEN  (FunExt  THENA  Auto)
                  THEN  RepUR  ``vector-mul``  0
                  THEN  SupposeNot
                  THEN  D  -3
                  THEN  Auto))
  THEN  D  -1
  )

---

Home Index