---

Step * 1 1 1 2 2 1 2 of Lemma cross-product-non-zero-implies


1. r : IntegDom{i}
2. ∀x,y:|r|.  Dec(x = y ∈ |r|)
3. a : ℕ3 ⟶ |r|
4. b : ℕ3 ⟶ |r|
5. ¬(a = 0 ∈ (ℕ3 ⟶ |r|))
6. ¬(b = 0 ∈ (ℕ3 ⟶ |r|))
7. ∀i:ℕ3. (((a i) = 0 ∈ |r|) ∨ ((b i) = 0 ∈ |r|) ∨ (¬((b i*a) = (a i*b) ∈ (ℕ3 ⟶ |r|))))
8. ∀a:ℕ3 ⟶ |r|. ((¬(a = 0 ∈ (ℕ3 ⟶ |r|))) ⇒ (∃i:ℕ3. (¬((a i) = 0 ∈ |r|))))
9. ∀x,y:|r|.  ((x +r (-r y)) = 0 ∈ |r| ⇐⇒ x = y ∈ |r|)
10. ¬(∃i:ℕ3. ((¬((a i) = 0 ∈ |r|)) ∧ (¬((b i) = 0 ∈ |r|))))
11. j : ℕ3
12. ¬((b j) = 0 ∈ |r|)
13. (a j) = 0 ∈ |r|
⊢ ((a . λi.if (i =z j) then 1 else 0 fi ) = 0 ∈ |r|) ∧ (¬((b . λi.if (i =z j) then 1 else 0 fi ) = 0 ∈ |r|))
BY
{ (D 0 THEN (RWO "scalar-product-3" 0 THENA Auto) THEN Reduce 0) }

1
1. r : IntegDom{i}
2. ∀x,y:|r|.  Dec(x = y ∈ |r|)
3. a : ℕ3 ⟶ |r|
4. b : ℕ3 ⟶ |r|
5. ¬(a = 0 ∈ (ℕ3 ⟶ |r|))
6. ¬(b = 0 ∈ (ℕ3 ⟶ |r|))
7. ∀i:ℕ3. (((a i) = 0 ∈ |r|) ∨ ((b i) = 0 ∈ |r|) ∨ (¬((b i*a) = (a i*b) ∈ (ℕ3 ⟶ |r|))))
8. ∀a:ℕ3 ⟶ |r|. ((¬(a = 0 ∈ (ℕ3 ⟶ |r|))) ⇒ (∃i:ℕ3. (¬((a i) = 0 ∈ |r|))))
9. ∀x,y:|r|.  ((x +r (-r y)) = 0 ∈ |r| ⇐⇒ x = y ∈ |r|)
10. ¬(∃i:ℕ3. ((¬((a i) = 0 ∈ |r|)) ∧ (¬((b i) = 0 ∈ |r|))))
11. j : ℕ3
12. ¬((b j) = 0 ∈ |r|)
13. (a j) = 0 ∈ |r|
⊢ (((0 +r ((a 0) * if (0 =z j) then 1 else 0 fi )) +r ((a 1) * if (1 =z j) then 1 else 0 fi )) 
   +r 
   ((a 2) * if (2 =z j) then 1 else 0 fi ))
= 0
∈ |r|

2
1. r : IntegDom{i}
2. ∀x,y:|r|.  Dec(x = y ∈ |r|)
3. a : ℕ3 ⟶ |r|
4. b : ℕ3 ⟶ |r|
5. ¬(a = 0 ∈ (ℕ3 ⟶ |r|))
6. ¬(b = 0 ∈ (ℕ3 ⟶ |r|))
7. ∀i:ℕ3. (((a i) = 0 ∈ |r|) ∨ ((b i) = 0 ∈ |r|) ∨ (¬((b i*a) = (a i*b) ∈ (ℕ3 ⟶ |r|))))
8. ∀a:ℕ3 ⟶ |r|. ((¬(a = 0 ∈ (ℕ3 ⟶ |r|))) ⇒ (∃i:ℕ3. (¬((a i) = 0 ∈ |r|))))
9. ∀x,y:|r|.  ((x +r (-r y)) = 0 ∈ |r| ⇐⇒ x = y ∈ |r|)
10. ¬(∃i:ℕ3. ((¬((a i) = 0 ∈ |r|)) ∧ (¬((b i) = 0 ∈ |r|))))
11. j : ℕ3
12. ¬((b j) = 0 ∈ |r|)
13. (a j) = 0 ∈ |r|
⊢ ¬((((0 +r ((b 0) * if (0 =z j) then 1 else 0 fi )) +r ((b 1) * if (1 =z j) then 1 else 0 fi )) 
     +r 
     ((b 2) * if (2 =z j) then 1 else 0 fi ))
= 0
∈ |r|)

---

Latex:

---

Latex:

1.  r  :  IntegDom\{i\}
2.  \mforall{}x,y:|r|.    Dec(x  =  y)
3.  a  :  \mBbbN{}3  {}\mrightarrow{}  |r|
4.  b  :  \mBbbN{}3  {}\mrightarrow{}  |r|
5.  \mneg{}(a  =  0)
6.  \mneg{}(b  =  0)
7.  \mforall{}i:\mBbbN{}3.  (((a  i)  =  0)  \mvee{}  ((b  i)  =  0)  \mvee{}  (\mneg{}((b  i*a)  =  (a  i*b))))
8.  \mforall{}a:\mBbbN{}3  {}\mrightarrow{}  |r|.  ((\mneg{}(a  =  0))  {}\mRightarrow{}  (\mexists{}i:\mBbbN{}3.  (\mneg{}((a  i)  =  0))))
9.  \mforall{}x,y:|r|.    ((x  +r  (-r  y))  =  0  \mLeftarrow{}{}\mRightarrow{}  x  =  y)
10.  \mneg{}(\mexists{}i:\mBbbN{}3.  ((\mneg{}((a  i)  =  0))  \mwedge{}  (\mneg{}((b  i)  =  0))))
11.  j  :  \mBbbN{}3
12.  \mneg{}((b  j)  =  0)
13.  (a  j)  =  0
\mvdash{}  ((a  .  \mlambda{}i.if  (i  =\msubz{}  j)  then  1  else  0  fi  )  =  0)  \mwedge{}  (\mneg{}((b  .  \mlambda{}i.if  (i  =\msubz{}  j)  then  1  else  0  fi  )  =  0))


By

---

Latex:
(D  0  THEN  (RWO  "scalar-product-3"  0  THENA  Auto)  THEN  Reduce  0)

---

Home Index