---

Step * 3 1 1 of Lemma det-fun+


1. n : ℕ
2. J : ℕn + 1
3. r : Rng
4. d : Matrix(n + 1;n + 1;r) ⟶ |r|
5. ∀i:ℕn + 1. ∀k:|r|. ∀M:Matrix(n + 1;n + 1;r).  ((d matrix-mul-row(r;k;i;M)) = (k * (d M)) ∈ |r|)
6. ∀i:ℕn + 1. ∀row:ℕn + 1 ⟶ |r|. ∀M:Matrix(n + 1;n + 1;r).
     ((d matrix(if x=i then (row y) +r M[x,y] else M[x,y]))
     = ((d matrix(if x=i then row y else M[x,y])) +r (d M))
     ∈ |r|)
7. ∀i,j:ℕn + 1.  ((¬(i = j ∈ ℤ)) ⇒ (∀M:Matrix(n + 1;n + 1;r). ((d matrix-swap-rows(M;i;j)) = (-r (d M)) ∈ |r|)))
8. ∀i,j:ℕn + 1.
     ((¬(i = j ∈ ℤ))
     ⇒ (∀M:Matrix(n + 1;n + 1;r). ((matrix-swap-rows(M;i;j) = M ∈ Matrix(n + 1;n + 1;r)) ⇒ ((d M) = 0 ∈ |r|))))
9. ∀i:ℕn. ∀k:|r|. ∀M:Matrix(n;n;r).  ((d matrix+(r;J;matrix-mul-row(r;k;i;M))) = (k * (d matrix+(r;J;M))) ∈ |r|)
10. ∀i:ℕn. ∀row:ℕn ⟶ |r|. ∀M:Matrix(n;n;r).
      ((d matrix+(r;J;matrix(if x=i then (row y) +r M[x,y] else M[x,y])))
      = ((d matrix+(r;J;matrix(if x=i then row y else M[x,y]))) +r (d matrix+(r;J;M)))
      ∈ |r|)
11. i : ℕn
12. j : ℕn
13. ¬(i = j ∈ ℤ)
14. M : Matrix(n;n;r)
15. (d matrix-swap-rows(matrix+(r;J;M);i + 1;j + 1)) = (-r (d matrix+(r;J;M))) ∈ |r|
16. x : ℕn + 1
17. y : ℕn + 1
18. ¬(x = 0 ∈ ℤ)
19. ¬(if x=i + 1 then j + 1 else if x=j + 1 then i + 1 else x = 0 ∈ ℤ)
⊢ if (y) < (J)
     then M[if x=i + 1 then j + 1 else if x=j + 1 then i + 1 else x - 1,y]
     else if (J) < (y)  then M[if x=i + 1 then j + 1 else if x=j + 1 then i + 1 else x - 1,y - 1]  else 0
= if (y) < (J)
     then M[if x - 1=i then j else if x - 1=j then i else (x - 1),y]
     else if (J) < (y)  then M[if x - 1=i then j else if x - 1=j then i else (x - 1),y - 1]  else 0
∈ |r|
BY
{ ((Assert (if x=i + 1 then j + 1 else if x=j + 1 then i + 1 else x - 1)
          = if x - 1=i then j else if x - 1=j then i else (x - 1)
          ∈ ℤ BY
          AutoSplit)
   THEN HypSubst' (-1) 0
   ) }

1
1. n : ℕ
2. J : ℕn + 1
3. r : Rng
4. d : Matrix(n + 1;n + 1;r) ⟶ |r|
5. ∀i:ℕn + 1. ∀k:|r|. ∀M:Matrix(n + 1;n + 1;r).  ((d matrix-mul-row(r;k;i;M)) = (k * (d M)) ∈ |r|)
6. ∀i:ℕn + 1. ∀row:ℕn + 1 ⟶ |r|. ∀M:Matrix(n + 1;n + 1;r).
     ((d matrix(if x=i then (row y) +r M[x,y] else M[x,y]))
     = ((d matrix(if x=i then row y else M[x,y])) +r (d M))
     ∈ |r|)
7. ∀i,j:ℕn + 1.  ((¬(i = j ∈ ℤ)) ⇒ (∀M:Matrix(n + 1;n + 1;r). ((d matrix-swap-rows(M;i;j)) = (-r (d M)) ∈ |r|)))
8. ∀i,j:ℕn + 1.
     ((¬(i = j ∈ ℤ))
     ⇒ (∀M:Matrix(n + 1;n + 1;r). ((matrix-swap-rows(M;i;j) = M ∈ Matrix(n + 1;n + 1;r)) ⇒ ((d M) = 0 ∈ |r|))))
9. ∀i:ℕn. ∀k:|r|. ∀M:Matrix(n;n;r).  ((d matrix+(r;J;matrix-mul-row(r;k;i;M))) = (k * (d matrix+(r;J;M))) ∈ |r|)
10. ∀i:ℕn. ∀row:ℕn ⟶ |r|. ∀M:Matrix(n;n;r).
      ((d matrix+(r;J;matrix(if x=i then (row y) +r M[x,y] else M[x,y])))
      = ((d matrix+(r;J;matrix(if x=i then row y else M[x,y]))) +r (d matrix+(r;J;M)))
      ∈ |r|)
11. i : ℕn
12. j : ℕn
13. ¬(i = j ∈ ℤ)
14. M : Matrix(n;n;r)
15. (d matrix-swap-rows(matrix+(r;J;M);i + 1;j + 1)) = (-r (d matrix+(r;J;M))) ∈ |r|
16. x : ℕn + 1
17. y : ℕn + 1
18. ¬(x = 0 ∈ ℤ)
19. ¬(if x=i + 1 then j + 1 else if x=j + 1 then i + 1 else x = 0 ∈ ℤ)
20. (if x=i + 1 then j + 1 else if x=j + 1 then i + 1 else x - 1)
= if x - 1=i then j else if x - 1=j then i else (x - 1)
∈ ℤ
⊢ if (y) < (J)
     then M[if x - 1=i then j else if x - 1=j then i else (x - 1),y]
     else if (J) < (y)  then M[if x - 1=i then j else if x - 1=j then i else (x - 1),y - 1]  else 0
= if (y) < (J)
     then M[if x - 1=i then j else if x - 1=j then i else (x - 1),y]
     else if (J) < (y)  then M[if x - 1=i then j else if x - 1=j then i else (x - 1),y - 1]  else 0
∈ |r|

---

Latex:

---

Latex:

1.  n  :  \mBbbN{}
2.  J  :  \mBbbN{}n  +  1
3.  r  :  Rng
4.  d  :  Matrix(n  +  1;n  +  1;r)  {}\mrightarrow{}  |r|
5.  \mforall{}i:\mBbbN{}n  +  1.  \mforall{}k:|r|.  \mforall{}M:Matrix(n  +  1;n  +  1;r).    ((d  matrix-mul-row(r;k;i;M))  =  (k  *  (d  M)))
6.  \mforall{}i:\mBbbN{}n  +  1.  \mforall{}row:\mBbbN{}n  +  1  {}\mrightarrow{}  |r|.  \mforall{}M:Matrix(n  +  1;n  +  1;r).
          ((d  matrix(if  x=i  then  (row  y)  +r  M[x,y]  else  M[x,y]))
          =  ((d  matrix(if  x=i  then  row  y  else  M[x,y]))  +r  (d  M)))
7.  \mforall{}i,j:\mBbbN{}n  +  1.
          ((\mneg{}(i  =  j))  {}\mRightarrow{}  (\mforall{}M:Matrix(n  +  1;n  +  1;r).  ((d  matrix-swap-rows(M;i;j))  =  (-r  (d  M)))))
8.  \mforall{}i,j:\mBbbN{}n  +  1.
          ((\mneg{}(i  =  j))  {}\mRightarrow{}  (\mforall{}M:Matrix(n  +  1;n  +  1;r).  ((matrix-swap-rows(M;i;j)  =  M)  {}\mRightarrow{}  ((d  M)  =  0))))
9.  \mforall{}i:\mBbbN{}n.  \mforall{}k:|r|.  \mforall{}M:Matrix(n;n;r).
          ((d  matrix+(r;J;matrix-mul-row(r;k;i;M)))  =  (k  *  (d  matrix+(r;J;M))))
10.  \mforall{}i:\mBbbN{}n.  \mforall{}row:\mBbbN{}n  {}\mrightarrow{}  |r|.  \mforall{}M:Matrix(n;n;r).
            ((d  matrix+(r;J;matrix(if  x=i  then  (row  y)  +r  M[x,y]  else  M[x,y])))
            =  ((d  matrix+(r;J;matrix(if  x=i  then  row  y  else  M[x,y])))  +r  (d  matrix+(r;J;M))))
11.  i  :  \mBbbN{}n
12.  j  :  \mBbbN{}n
13.  \mneg{}(i  =  j)
14.  M  :  Matrix(n;n;r)
15.  (d  matrix-swap-rows(matrix+(r;J;M);i  +  1;j  +  1))  =  (-r  (d  matrix+(r;J;M)))
16.  x  :  \mBbbN{}n  +  1
17.  y  :  \mBbbN{}n  +  1
18.  \mneg{}(x  =  0)
19.  \mneg{}(if  x=i  +  1  then  j  +  1  else  if  x=j  +  1  then  i  +  1  else  x  =  0)
\mvdash{}  if  (y)  <  (J)
          then  M[if  x=i  +  1  then  j  +  1  else  if  x=j  +  1  then  i  +  1  else  x  -  1,y]
          else  if  (J)  <  (y)
                          then  M[if  x=i  +  1  then  j  +  1  else  if  x=j  +  1  then  i  +  1  else  x  -  1,y  -  1]
                          else  0
=  if  (y)  <  (J)
          then  M[if  x  -  1=i  then  j  else  if  x  -  1=j  then  i  else  (x  -  1),y]
          else  if  (J)  <  (y)    then  M[if  x  -  1=i  then  j  else  if  x  -  1=j  then  i  else  (x  -  1),y  -  1]    else  0


By

---

Latex:
((Assert  (if  x=i  +  1  then  j  +  1  else  if  x=j  +  1  then  i  +  1  else  x  -  1)
                =  if  x  -  1=i  then  j  else  if  x  -  1=j  then  i  else  (x  -  1)  BY
                AutoSplit)
  THEN  HypSubst'  (-1)  0
  )

---

Home Index