---

Step * 1 7 1 1 of Lemma KozenSilva-lemma


1. r : CRng
2. x : Atom
3. y : Atom
4. h : PowerSeries(r)
5. n : ℕ
6. m : ℕ
7. n ≤ m
8. ¬(x = y ∈ Atom)
9. fps-ucont(Atom;AtomDeq;r;f.[([f]_n(y:=1)*Δ(x,y))]_m)
10. fps-ucont(Atom;AtomDeq;r;f.([f]_n(y:=(atom(x)+atom(y)))*((atom(x)+atom(y)))^(m - n)))
11. ∀f,g:PowerSeries(r).
      ([([(f+g)]_n(y:=1)*Δ(x,y))]_m = ([([f]_n(y:=1)*Δ(x,y))]_m+[([g]_n(y:=1)*Δ(x,y))]_m) ∈ PowerSeries(r))
12. ∀f,g:PowerSeries(r).
      (([(f+g)]_n(y:=(atom(x)+atom(y)))*((atom(x)+atom(y)))^(m - n))
      = (([f]_n(y:=(atom(x)+atom(y)))*((atom(x)+atom(y)))^(m - n))+([g]_n(y:=(atom(x)+atom(y)))*((atom(x)+atom(y)))^(m 
         - n)))
      ∈ PowerSeries(r))
13. ∀c:|r|. ∀f:PowerSeries(r).  ([([(c)*f]_n(y:=1)*Δ(x,y))]_m = (c)*[([f]_n(y:=1)*Δ(x,y))]_m ∈ PowerSeries(r))
14. ∀c:|r|. ∀f:PowerSeries(r).
      (([(c)*f]_n(y:=(atom(x)+atom(y)))*((atom(x)+atom(y)))^(m - n))
      = (c)*([f]_n(y:=(atom(x)+atom(y)))*((atom(x)+atom(y)))^(m - n))
      ∈ PowerSeries(r))
15. b : bag(Atom)
16. #(b) = n ∈ ℤ
⊢ fps-summation(r;upto(m + 1);k.([<(b|¬y)>]_k*[Δ(x,y)]_m - k))
= (<b>(y:=(atom(x)+atom(y)))*((atom(x)+atom(y)))^(m - n))
∈ PowerSeries(r)
BY
{ xxx(Assert IsMonoid(PowerSeries(r);λk,y. (k+y);0) ∧ Comm(PowerSeries(r);λk,y. (k+y)) BY
            (Auto THEN RepeatFor 2 (((D 0 THEN Auto) THEN Reduce 0 THEN FpsNorm 0 THEN Auto))))xxx }

1
1. r : CRng
2. x : Atom
3. y : Atom
4. h : PowerSeries(r)
5. n : ℕ
6. m : ℕ
7. n ≤ m
8. ¬(x = y ∈ Atom)
9. fps-ucont(Atom;AtomDeq;r;f.[([f]_n(y:=1)*Δ(x,y))]_m)
10. fps-ucont(Atom;AtomDeq;r;f.([f]_n(y:=(atom(x)+atom(y)))*((atom(x)+atom(y)))^(m - n)))
11. ∀f,g:PowerSeries(r).
      ([([(f+g)]_n(y:=1)*Δ(x,y))]_m = ([([f]_n(y:=1)*Δ(x,y))]_m+[([g]_n(y:=1)*Δ(x,y))]_m) ∈ PowerSeries(r))
12. ∀f,g:PowerSeries(r).
      (([(f+g)]_n(y:=(atom(x)+atom(y)))*((atom(x)+atom(y)))^(m - n))
      = (([f]_n(y:=(atom(x)+atom(y)))*((atom(x)+atom(y)))^(m - n))+([g]_n(y:=(atom(x)+atom(y)))*((atom(x)+atom(y)))^(m 
         - n)))
      ∈ PowerSeries(r))
13. ∀c:|r|. ∀f:PowerSeries(r).  ([([(c)*f]_n(y:=1)*Δ(x,y))]_m = (c)*[([f]_n(y:=1)*Δ(x,y))]_m ∈ PowerSeries(r))
14. ∀c:|r|. ∀f:PowerSeries(r).
      (([(c)*f]_n(y:=(atom(x)+atom(y)))*((atom(x)+atom(y)))^(m - n))
      = (c)*([f]_n(y:=(atom(x)+atom(y)))*((atom(x)+atom(y)))^(m - n))
      ∈ PowerSeries(r))
15. b : bag(Atom)
16. #(b) = n ∈ ℤ
17. IsMonoid(PowerSeries(r);λk,y. (k+y);0) ∧ Comm(PowerSeries(r);λk,y. (k+y))
⊢ fps-summation(r;upto(m + 1);k.([<(b|¬y)>]_k*[Δ(x,y)]_m - k))
= (<b>(y:=(atom(x)+atom(y)))*((atom(x)+atom(y)))^(m - n))
∈ PowerSeries(r)

---

Latex:

---

Latex:

1.  r  :  CRng
2.  x  :  Atom
3.  y  :  Atom
4.  h  :  PowerSeries(r)
5.  n  :  \mBbbN{}
6.  m  :  \mBbbN{}
7.  n  \mleq{}  m
8.  \mneg{}(x  =  y)
9.  fps-ucont(Atom;AtomDeq;r;f.[([f]\_n(y:=1)*\mDelta{}(x,y))]\_m)
10.  fps-ucont(Atom;AtomDeq;r;f.([f]\_n(y:=(atom(x)+atom(y)))*((atom(x)+atom(y)))\^{}(m  -  n)))
11.  \mforall{}f,g:PowerSeries(r).
            ([([(f+g)]\_n(y:=1)*\mDelta{}(x,y))]\_m  =  ([([f]\_n(y:=1)*\mDelta{}(x,y))]\_m+[([g]\_n(y:=1)*\mDelta{}(x,y))]\_m))
12.  \mforall{}f,g:PowerSeries(r).
            (([(f+g)]\_n(y:=(atom(x)+atom(y)))*((atom(x)+atom(y)))\^{}(m  -  n))
            =  (([f]\_n(y:=(atom(x)+atom(y)))*((atom(x)+atom(y)))\^{}(m  -  n))
                  +([g]\_n(y:=(atom(x)+atom(y)))*((atom(x)+atom(y)))\^{}(m  -  n))))
13.  \mforall{}c:|r|.  \mforall{}f:PowerSeries(r).    ([([(c)*f]\_n(y:=1)*\mDelta{}(x,y))]\_m  =  (c)*[([f]\_n(y:=1)*\mDelta{}(x,y))]\_m)
14.  \mforall{}c:|r|.  \mforall{}f:PowerSeries(r).
            (([(c)*f]\_n(y:=(atom(x)+atom(y)))*((atom(x)+atom(y)))\^{}(m  -  n))
            =  (c)*([f]\_n(y:=(atom(x)+atom(y)))*((atom(x)+atom(y)))\^{}(m  -  n)))
15.  b  :  bag(Atom)
16.  \#(b)  =  n
\mvdash{}  fps-summation(r;upto(m  +  1);k.([<(b|\mneg{}y)>]\_k*[\mDelta{}(x,y)]\_m  -  k))
=  (<b>(y:=(atom(x)+atom(y)))*((atom(x)+atom(y)))\^{}(m  -  n))


By

---

Latex:
xxx(Assert  IsMonoid(PowerSeries(r);\mlambda{}k,y.  (k+y);0)  \mwedge{}  Comm(PowerSeries(r);\mlambda{}k,y.  (k+y))  BY
                    (Auto  THEN  RepeatFor  2  (((D  0  THEN  Auto)  THEN  Reduce  0  THEN  FpsNorm  0  THEN  Auto))))xxx

---

Home Index