---

Step * 2 1 2 1 1 1 1 1 of Lemma KozenSilva-theorem

.....subterm..... T:t
5:n
1. r : CRng
2. x : Atom
3. y : Atom
4. ¬(x = y ∈ Atom)
5. h : PowerSeries(r)
6. d : ℕ ⟶ ℕ
7. k : ℤ
8. k ∈ ℕ
9. k ≠ 0
10. 0 < k
11. [Moessner-aux(r;x;y;h;d;k - 1)]_Σ(d i | i < k)
= ([h]_d 0(y:=(((k - 1) ⋅r 1)*atom(x)+atom(y)))*Π(i∈upto(k - 1)).((((k - 1 - i) ⋅r 1)*atom(x)+atom(y)))^(d (i + 1)))
∈ PowerSeries(r)
12. Σ(d i | i < k) ∈ ℕ
13. Σ(d i | i < k + 1) ∈ ℕ
14. [([h]_d 0(y:=(((k - 1) ⋅r 1)*atom(x)+atom(y)))*Π(i∈upto(k - 1)).((((k - 1 - i) ⋅r 1)*atom(x)
                                                                      +atom(y)))^(d (i + 1)))]_Σ(d i | i < k)
= ([h]_d 0(y:=(((k - 1) ⋅r 1)*atom(x)+atom(y)))*Π(i∈upto(k - 1)).((((k - 1 - i) ⋅r 1)*atom(x)+atom(y)))^(d (i + 1)))
∈ PowerSeries(r)
15. Σ(d i | i < k) ≤ Σ(d i | i < k + 1)
⊢ (((k - 1) ⋅r 1)*atom(x)(y:=(atom(x)+atom(y)))+atom(y)(y:=(atom(x)+atom(y))))
= ((k ⋅r 1)*atom(x)+atom(y))
∈ PowerSeries(r)
BY
{ ((RWO "fps-compose-atom" 0 THENM (RepUR ``atom-deq`` 0 THEN RepeatFor 2 (AutoSplit)))
   THENA (Auto THEN FpsCompute 0 THEN Auto)
   )⋅ }

1
1. r : CRng
2. x : Atom
3. y : Atom
4. x ≠ y ∈ Atom 
5. ¬(x = y ∈ Atom)
6. h : PowerSeries(r)
7. d : ℕ ⟶ ℕ
8. k : ℤ
9. k ∈ ℕ
10. k ≠ 0
11. 0 < k
12. [Moessner-aux(r;x;y;h;d;k - 1)]_Σ(d i | i < k)
= ([h]_d 0(y:=(((k - 1) ⋅r 1)*atom(x)+atom(y)))*Π(i∈upto(k - 1)).((((k - 1 - i) ⋅r 1)*atom(x)+atom(y)))^(d (i + 1)))
∈ PowerSeries(r)
13. Σ(d i | i < k) ∈ ℕ
14. Σ(d i | i < k + 1) ∈ ℕ
15. [([h]_d 0(y:=(((k - 1) ⋅r 1)*atom(x)+atom(y)))*Π(i∈upto(k - 1)).((((k - 1 - i) ⋅r 1)*atom(x)
                                                                      +atom(y)))^(d (i + 1)))]_Σ(d i | i < k)
= ([h]_d 0(y:=(((k - 1) ⋅r 1)*atom(x)+atom(y)))*Π(i∈upto(k - 1)).((((k - 1 - i) ⋅r 1)*atom(x)+atom(y)))^(d (i + 1)))
∈ PowerSeries(r)
16. Σ(d i | i < k) ≤ Σ(d i | i < k + 1)
17. y = y ∈ Atom
⊢ (((k - 1) ⋅r 1)*atom(x)+(atom(x)+atom(y))) = ((k ⋅r 1)*atom(x)+atom(y)) ∈ PowerSeries(r)

---

Latex:

---

Latex:
.....subterm.....  T:t
5:n
1.  r  :  CRng
2.  x  :  Atom
3.  y  :  Atom
4.  \mneg{}(x  =  y)
5.  h  :  PowerSeries(r)
6.  d  :  \mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  \mBbbN{}
7.  k  :  \mBbbZ{}
8.  k  \mmember{}  \mBbbN{}
9.  k  \mneq{}  0
10.  0  <  k
11.  [Moessner-aux(r;x;y;h;d;k  -  1)]\_\mSigma{}(d  i  |  i  <  k)
=  ([h]\_d  0(y:=(((k  -  1)  \mcdot{}r  1)*atom(x)+atom(y)))*\mPi{}(i\mmember{}upto(k 
    -  1)).((((k  -  1  -  i)  \mcdot{}r  1)*atom(x)+atom(y)))\^{}(d  (i  +  1)))
12.  \mSigma{}(d  i  |  i  <  k)  \mmember{}  \mBbbN{}
13.  \mSigma{}(d  i  |  i  <  k  +  1)  \mmember{}  \mBbbN{}
14.  [([h]\_d  0(y:=(((k  -  1)  \mcdot{}r  1)*atom(x)+atom(y)))*\mPi{}(i\mmember{}upto(k 
-  1)).((((k  -  1  -  i)  \mcdot{}r  1)*atom(x)+atom(y)))\^{}(d  (i  +  1)))]\_\mSigma{}(d  i  |  i  <  k)
=  ([h]\_d  0(y:=(((k  -  1)  \mcdot{}r  1)*atom(x)+atom(y)))*\mPi{}(i\mmember{}upto(k 
    -  1)).((((k  -  1  -  i)  \mcdot{}r  1)*atom(x)+atom(y)))\^{}(d  (i  +  1)))
15.  \mSigma{}(d  i  |  i  <  k)  \mleq{}  \mSigma{}(d  i  |  i  <  k  +  1)
\mvdash{}  (((k  -  1)  \mcdot{}r  1)*atom(x)(y:=(atom(x)+atom(y)))+atom(y)(y:=(atom(x)+atom(y))))
=  ((k  \mcdot{}r  1)*atom(x)+atom(y))


By

---

Latex:
((RWO  "fps-compose-atom"  0  THENM  (RepUR  ``atom-deq``  0  THEN  RepeatFor  2  (AutoSplit)))
  THENA  (Auto  THEN  FpsCompute  0  THEN  Auto)
  )\mcdot{}

---

Home Index