---

Step * 1 2 2 2 of Lemma Long-theorem


1. x : Atom
2. y : Atom
3. ¬(x = y ∈ Atom)
4. a : ℤ
5. b : ℤ
6. ∀[d:ℕ ⟶ ℕ]. ∀[k:ℕ].
     (Moessner(ℤ-rng;x;y;((a - b)*atom(x)+(b)*atom(y));d;k)
     = ([((a - b)*atom(x)+(b)*atom(y))]_d 
                                        0(y:=((k ⋅ℤ-rng 1)*atom(x)+atom(y)))*Π(i∈upto(k)).((((k - i) ⋅ℤ-rng 1)*atom(x)
                                                                                            +atom(y)))^(d (i + 1)))
     ∈ PowerSeries(ℤ-rng))
7. n : ℕ+
8. k : ℕ+
9. upto(k) ∈ bag(ℕk)
10. ∀[r:CRng]. ∀[f,g:PowerSeries(r)]. ∀[x:Atom].
      (f*g)[bag-rep(n;x)] = (* f[bag-rep(1;x)] g[bag-rep(n - 1;x)]) ∈ |r| 
      supposing ∀i:ℕn + 1. ((¬(i = 1 ∈ ℤ)) ⇒ (f[bag-rep(i;x)] = 0 ∈ |r|))
⊢ (* ((a + ((k - 1) * b))*atom(x)+(b)*atom(y))[bag-rep(1;x)] (((k)*atom(x)+atom(y)))^(n - 1)[bag-rep(n - 1;x)])
= ((a + ((k - 1) * b)) * k^(n - 1))
∈ ℤ
BY
{ TACTIC:(RepUR ``int_ring rng_times`` 0 THEN EqCD) }

1
.....subterm..... T:t
1:n
1. x : Atom
2. y : Atom
3. ¬(x = y ∈ Atom)
4. a : ℤ
5. b : ℤ
6. ∀[d:ℕ ⟶ ℕ]. ∀[k:ℕ].
     (Moessner(ℤ-rng;x;y;((a - b)*atom(x)+(b)*atom(y));d;k)
     = ([((a - b)*atom(x)+(b)*atom(y))]_d 
                                        0(y:=((k ⋅ℤ-rng 1)*atom(x)+atom(y)))*Π(i∈upto(k)).((((k - i) ⋅ℤ-rng 1)*atom(x)
                                                                                            +atom(y)))^(d (i + 1)))
     ∈ PowerSeries(ℤ-rng))
7. n : ℕ+
8. k : ℕ+
9. upto(k) ∈ bag(ℕk)
10. ∀[r:CRng]. ∀[f,g:PowerSeries(r)]. ∀[x:Atom].
      (f*g)[bag-rep(n;x)] = (* f[bag-rep(1;x)] g[bag-rep(n - 1;x)]) ∈ |r| 
      supposing ∀i:ℕn + 1. ((¬(i = 1 ∈ ℤ)) ⇒ (f[bag-rep(i;x)] = 0 ∈ |r|))
⊢ ((a + ((k - 1) * b))*atom(x)+(b)*atom(y))[bag-rep(1;x)] = (a + ((k - 1) * b)) ∈ ℤ

2
.....subterm..... T:t
2:n
1. x : Atom
2. y : Atom
3. ¬(x = y ∈ Atom)
4. a : ℤ
5. b : ℤ
6. ∀[d:ℕ ⟶ ℕ]. ∀[k:ℕ].
     (Moessner(ℤ-rng;x;y;((a - b)*atom(x)+(b)*atom(y));d;k)
     = ([((a - b)*atom(x)+(b)*atom(y))]_d 
                                        0(y:=((k ⋅ℤ-rng 1)*atom(x)+atom(y)))*Π(i∈upto(k)).((((k - i) ⋅ℤ-rng 1)*atom(x)
                                                                                            +atom(y)))^(d (i + 1)))
     ∈ PowerSeries(ℤ-rng))
7. n : ℕ+
8. k : ℕ+
9. upto(k) ∈ bag(ℕk)
10. ∀[r:CRng]. ∀[f,g:PowerSeries(r)]. ∀[x:Atom].
      (f*g)[bag-rep(n;x)] = (* f[bag-rep(1;x)] g[bag-rep(n - 1;x)]) ∈ |r| 
      supposing ∀i:ℕn + 1. ((¬(i = 1 ∈ ℤ)) ⇒ (f[bag-rep(i;x)] = 0 ∈ |r|))
⊢ (((k)*atom(x)+atom(y)))^(n - 1)[bag-rep(n - 1;x)] = k^(n - 1) ∈ ℤ

---

Latex:

---

Latex:

1.  x  :  Atom
2.  y  :  Atom
3.  \mneg{}(x  =  y)
4.  a  :  \mBbbZ{}
5.  b  :  \mBbbZ{}
6.  \mforall{}[d:\mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  \mBbbN{}].  \mforall{}[k:\mBbbN{}].
          (Moessner(\mBbbZ{}-rng;x;y;((a  -  b)*atom(x)+(b)*atom(y));d;k)
          =  ([((a  -  b)*atom(x)+(b)*atom(y))]\_d 
                                                                                0(y:=((k  \mcdot{}\mBbbZ{}-rng  1)*atom(x)
                                                                                            +atom(y)))*\mPi{}(i\mmember{}upto(k)).((((k  -  i)  \mcdot{}\mBbbZ{}-rng  1)*atom(x)
                                                                                                                                                +atom(y)))\^{}(d  (i  +  1))))
7.  n  :  \mBbbN{}\msupplus{}
8.  k  :  \mBbbN{}\msupplus{}
9.  upto(k)  \mmember{}  bag(\mBbbN{}k)
10.  \mforall{}[r:CRng].  \mforall{}[f,g:PowerSeries(r)].  \mforall{}[x:Atom].
            (f*g)[bag-rep(n;x)]  =  (*  f[bag-rep(1;x)]  g[bag-rep(n  -  1;x)]) 
            supposing  \mforall{}i:\mBbbN{}n  +  1.  ((\mneg{}(i  =  1))  {}\mRightarrow{}  (f[bag-rep(i;x)]  =  0))
\mvdash{}  (*  ((a  +  ((k  -  1)  *  b))*atom(x)+(b)*atom(y))[bag-rep(1;x)] 
      (((k)*atom(x)+atom(y)))\^{}(n  -  1)[bag-rep(n  -  1;x)])
=  ((a  +  ((k  -  1)  *  b))  *  k\^{}(n  -  1))


By

---

Latex:
TACTIC:(RepUR  ``int\_ring  rng\_times``  0  THEN  EqCD)

---

Home Index