---

Step * 1 2 1 1 3 2 1 1 1 of Lemma fps-compose-mul


1. X : Type
2. valueall-type(X)
3. eq : EqDecider(X)
4. r : CRng
5. x : X
6. g : PowerSeries(X;r)
7. f : PowerSeries(X;r)
8. h : PowerSeries(X;r)
9. ∀L:bag(X) List+. (||L|| ≥ 1 )
10. Assoc(|r|;+r)
11. IsMonoid(|r|;+r;0)
12. Comm(|r|;+r)
13. Comm(|r|;*)
14. Assoc(|r|;*)
15. ∀L:bag(X) List+. (Πa ∈ tl(L). f a ∈ |r|)
16. b : bag(X)
17. L : bag(X) List+
18. as : bag(X)
19. bs : bag(X)
20. <L, as, bs> ↓∈ ⋃L∈bag-parts'(eq;b;x).bag-map(λp.<L, p>;bag-partitions(eq;hd(L) + bag-rep(||tl(L)||;x)))
⊢ ((* (g as) (h bs)) * Πa ∈ tl(L). f a)
= (((g ((as|¬x) + bag-rep(||firstn(#((as|x));tl(L))||;x))) * Πa ∈ firstn(#((as|x));tl(L)). f a) 
   * 
   ((h ((bs|¬x) + bag-rep(||nth_tl(#((as|x));tl(L))||;x))) * Πa ∈ nth_tl(#((as|x));tl(L)). f a))
∈ |r|
BY
{ TACTIC:(Folds ``hdp tlp`` (-1)
          THEN (BagMemberD (-1) THEN SquashExRepD)
          THEN BagMemberD (-2)
          THEN SquashExRepD
          THEN BagMemberD (-1)
          THEN SquashExRepD
          THEN (D -3
                THEN RWO "bag-member-partitions" (-2)
                THEN Auto
                THEN AutoSimpHyp Auto (-1)
                THEN (Assert (as + bs) = (hd(L1) + bag-rep(||tl(L1)||;x)) ∈ bag(X) BY
                            (All (Unfolds ``hdp tlp``)⋅ THEN Auto))
                THEN ThinVar `v1'
                THEN ThinVar `v2')⋅) }

1
1. X : Type
2. valueall-type(X)
3. eq : EqDecider(X)
4. r : CRng
5. x : X
6. g : PowerSeries(X;r)
7. f : PowerSeries(X;r)
8. h : PowerSeries(X;r)
9. ∀L:bag(X) List+. (||L|| ≥ 1 )
10. Assoc(|r|;+r)
11. IsMonoid(|r|;+r;0)
12. Comm(|r|;+r)
13. Comm(|r|;*)
14. Assoc(|r|;*)
15. ∀L:bag(X) List+. (Πa ∈ tl(L). f a ∈ |r|)
16. b : bag(X)
17. L : bag(X) List+
18. as : bag(X)
19. bs : bag(X)
20. L1 : bag(X) List+
21. ¬x ↓∈ hd(L1)
22. (∀x∈tl(L1).¬(x = {} ∈ bag(X)))
23. bag-union(L1) = b ∈ bag(X)
24. L = L1 ∈ bag(X) List+
25. (as + bs) = (hd(L1) + bag-rep(||tl(L1)||;x)) ∈ bag(X)
⊢ ((* (g as) (h bs)) * Πa ∈ tl(L). f a)
= (((g ((as|¬x) + bag-rep(||firstn(#((as|x));tl(L))||;x))) * Πa ∈ firstn(#((as|x));tl(L)). f a) 
   * 
   ((h ((bs|¬x) + bag-rep(||nth_tl(#((as|x));tl(L))||;x))) * Πa ∈ nth_tl(#((as|x));tl(L)). f a))
∈ |r|

---

Latex:

---

Latex:

1.  X  :  Type
2.  valueall-type(X)
3.  eq  :  EqDecider(X)
4.  r  :  CRng
5.  x  :  X
6.  g  :  PowerSeries(X;r)
7.  f  :  PowerSeries(X;r)
8.  h  :  PowerSeries(X;r)
9.  \mforall{}L:bag(X)  List\msupplus{}.  (||L||  \mgeq{}  1  )
10.  Assoc(|r|;+r)
11.  IsMonoid(|r|;+r;0)
12.  Comm(|r|;+r)
13.  Comm(|r|;*)
14.  Assoc(|r|;*)
15.  \mforall{}L:bag(X)  List\msupplus{}.  (\mPi{}a  \mmember{}  tl(L).  f  a  \mmember{}  |r|)
16.  b  :  bag(X)
17.  L  :  bag(X)  List\msupplus{}
18.  as  :  bag(X)
19.  bs  :  bag(X)
20.  <L,  as,  bs>  \mdownarrow{}\mmember{}  \mcup{}L\mmember{}bag-parts'(eq;b;x).bag-map(\mlambda{}p.<L,  p>bag-partitions(eq;hd(L)
                                                                          +  bag-rep(||tl(L)||;x)))
\mvdash{}  ((*  (g  as)  (h  bs))  *  \mPi{}a  \mmember{}  tl(L).  f  a)
=  (((g  ((as|\mneg{}x)  +  bag-rep(||firstn(\#((as|x));tl(L))||;x)))  *  \mPi{}a  \mmember{}  firstn(\#((as|x));tl(L)).  f  a) 
      * 
      ((h  ((bs|\mneg{}x)  +  bag-rep(||nth\_tl(\#((as|x));tl(L))||;x)))  *  \mPi{}a  \mmember{}  nth\_tl(\#((as|x));tl(L)).  f  a))


By

---

Latex:
TACTIC:(Folds  ``hdp  tlp``  (-1)
                THEN  (BagMemberD  (-1)  THEN  SquashExRepD)
                THEN  BagMemberD  (-2)
                THEN  SquashExRepD
                THEN  BagMemberD  (-1)
                THEN  SquashExRepD
                THEN  (D  -3
                            THEN  RWO  "bag-member-partitions"  (-2)
                            THEN  Auto
                            THEN  AutoSimpHyp  Auto  (-1)
                            THEN  (Assert  (as  +  bs)  =  (hd(L1)  +  bag-rep(||tl(L1)||;x))  BY
                                                    (All  (Unfolds  ``hdp  tlp``)\mcdot{}  THEN  Auto))
                            THEN  ThinVar  `v1'
                            THEN  ThinVar  `v2')\mcdot{})

---

Home Index