---

Step * 1 2 1 1 3 2 2 5 1 of Lemma fps-compose-mul


1. X : Type
2. valueall-type(X)
3. eq : EqDecider(X)
4. r : CRng
5. x : X
6. g : PowerSeries(X;r)
7. f : PowerSeries(X;r)
8. h : PowerSeries(X;r)
9. ∀L:bag(X) List+. (||L|| ≥ 1 )
10. Assoc(|r|;+r)
11. IsMonoid(|r|;+r;0)
12. Comm(|r|;+r)
13. Comm(|r|;*)
14. Assoc(|r|;*)
15. ∀L:bag(X) List+. (Πa ∈ tl(L). f a ∈ |r|)
16. b : bag(X)
17. x1 : bag(X) List+ × bag(X) × bag(X)
18. v : bag(X) List+ × bag(X) List+
19. v ↓∈ ⋃p∈bag-partitions(eq;b).bag-parts'(eq;fst(p);x) × bag-parts'(eq;snd(p);x)
20. x1
= <[hd(fst(v)) + hd(snd(v)) / (tl(fst(v)) @ tl(snd(v)))]
  , hd(fst(v)) + bag-rep(||tl(fst(v))||;x)
  , hd(snd(v)) + bag-rep(||tl(snd(v))||;x)>
∈ (bag(X) List+ × bag(X) × bag(X))
⊢ ↓∃L:bag(X) List+
    (L ↓∈ bag-parts'(eq;b;x) ∧ x1 ↓∈ bag-map(λp.<L, p>;bag-partitions(eq;hdp(L) + bag-rep(||tlp(L)||;x))))
BY
{ TACTIC:(BagMemberD (-2)⋅
          THEN SquashExRepD
          THEN D -4
          THEN (RWO "bag-member-partitions" (-3) THENA Auto)
          THEN BagMemberD (-2)
          THEN ExRepD
          THEN All Reduce
          THEN BagMemberD (-3)⋅
          THEN BagMemberD (-2)⋅
          THEN (RenameTo `L' `v' THEN DVar `L')
          THEN All Reduce
          THEN ExRepD) }

1
1. X : Type
2. valueall-type(X)
3. eq : EqDecider(X)
4. r : CRng
5. x : X
6. g : PowerSeries(X;r)
7. f : PowerSeries(X;r)
8. h : PowerSeries(X;r)
9. ∀L:bag(X) List+. (||L|| ≥ 1 )
10. Assoc(|r|;+r)
11. IsMonoid(|r|;+r;0)
12. Comm(|r|;+r)
13. Comm(|r|;*)
14. Assoc(|r|;*)
15. ∀L:bag(X) List+. (Πa ∈ tl(L). f a ∈ |r|)
16. b : bag(X)
17. x1 : bag(X) List+ × bag(X) × bag(X)
18. L1 : bag(X) List+
19. L2 : bag(X) List+
20. p1 : bag(X)
21. p2 : bag(X)
22. (p1 + p2) = b ∈ bag(X)
23. ¬x ↓∈ hd(L1)
24. (∀x∈tl(L1).¬(x = {} ∈ bag(X)))
25. bag-union(L1) = p1 ∈ bag(X)
26. ¬x ↓∈ hd(L2)
27. (∀x∈tl(L2).¬(x = {} ∈ bag(X)))
28. bag-union(L2) = p2 ∈ bag(X)
29. x1
= <[hd(L1) + hd(L2) / (tl(L1) @ tl(L2))], hd(L1) + bag-rep(||tl(L1)||;x), hd(L2) + bag-rep(||tl(L2)||;x)>
∈ (bag(X) List+ × bag(X) × bag(X))
⊢ ↓∃L:bag(X) List+
    (L ↓∈ bag-parts'(eq;b;x) ∧ x1 ↓∈ bag-map(λp.<L, p>;bag-partitions(eq;hdp(L) + bag-rep(||tlp(L)||;x))))

---

Latex:

---

Latex:

1.  X  :  Type
2.  valueall-type(X)
3.  eq  :  EqDecider(X)
4.  r  :  CRng
5.  x  :  X
6.  g  :  PowerSeries(X;r)
7.  f  :  PowerSeries(X;r)
8.  h  :  PowerSeries(X;r)
9.  \mforall{}L:bag(X)  List\msupplus{}.  (||L||  \mgeq{}  1  )
10.  Assoc(|r|;+r)
11.  IsMonoid(|r|;+r;0)
12.  Comm(|r|;+r)
13.  Comm(|r|;*)
14.  Assoc(|r|;*)
15.  \mforall{}L:bag(X)  List\msupplus{}.  (\mPi{}a  \mmember{}  tl(L).  f  a  \mmember{}  |r|)
16.  b  :  bag(X)
17.  x1  :  bag(X)  List\msupplus{}  \mtimes{}  bag(X)  \mtimes{}  bag(X)
18.  v  :  bag(X)  List\msupplus{}  \mtimes{}  bag(X)  List\msupplus{}
19.  v  \mdownarrow{}\mmember{}  \mcup{}p\mmember{}bag-partitions(eq;b).bag-parts'(eq;fst(p);x)  \mtimes{}  bag-parts'(eq;snd(p);x)
20.  x1
=  <[hd(fst(v))  +  hd(snd(v))  /  (tl(fst(v))  @  tl(snd(v)))]
    ,  hd(fst(v))  +  bag-rep(||tl(fst(v))||;x)
    ,  hd(snd(v))  +  bag-rep(||tl(snd(v))||;x)>
\mvdash{}  \mdownarrow{}\mexists{}L:bag(X)  List\msupplus{}
        (L  \mdownarrow{}\mmember{}  bag-parts'(eq;b;x)
        \mwedge{}  x1  \mdownarrow{}\mmember{}  bag-map(\mlambda{}p.<L,  p>bag-partitions(eq;hdp(L)  +  bag-rep(||tlp(L)||;x))))


By

---

Latex:
TACTIC:(BagMemberD  (-2)\mcdot{}
                THEN  SquashExRepD
                THEN  D  -4
                THEN  (RWO  "bag-member-partitions"  (-3)  THENA  Auto)
                THEN  BagMemberD  (-2)
                THEN  ExRepD
                THEN  All  Reduce
                THEN  BagMemberD  (-3)\mcdot{}
                THEN  BagMemberD  (-2)\mcdot{}
                THEN  (RenameTo  `L'  `v'  THEN  DVar  `L')
                THEN  All  Reduce
                THEN  ExRepD)

---

Home Index