---

Step * 2 1 2 of Lemma fps-exp-linear-coeff


1. X : Type
2. valueall-type(X)
3. eq : EqDecider(X)
4. x : X
5. y : X
6. ¬(x = y ∈ X)
7. r : CRng
8. k : |r|
9. m : ℤ
10. 0 < m
11. n : ℕ
12. f : PowerSeries(X;r)
13. ∀[n:ℕ]. ((f bag-rep(n;x)) = if (n =z m - 1) then k ↑r (m - 1) else 0 fi  ∈ |r|)
14. ¬(n = 0 ∈ ℤ)
⊢ Σ(p∈bag-partitions(eq;bag-rep(n;x))). * (f (fst(p))) (((k)*atom(x)+atom(y)) (snd(p)))
= if (n =z m) then k ↑r m else 0 fi 
∈ |r|
BY
{ (InstLemma `bag-summation-single-non-zero-no-repeats` 
    [⌜bag(X) × bag(X)⌝;⌜|r|⌝;⌜product-deq(bag(X);bag(X);bag-deq(eq);bag-deq(eq))⌝
    ;⌜+r⌝;⌜0⌝
    ; ⌜bag-partitions(eq;bag-rep(n;x))⌝
    ; ⌜λ2p.* f[fst(p)] ((k)*atom(x)+atom(y))[snd(p)]⌝
    ; ⌜<bag-rep(n - 1;x), bag-rep(1;x)>⌝]⋅
   THENA (Auto THEN Try ((RepeatFor 2 (DVar `r') THEN Complete (Auto))))
   )⋅ }

1
1. X : Type
2. valueall-type(X)
3. eq : EqDecider(X)
4. x : X
5. y : X
6. ¬(x = y ∈ X)
7. r : CRng
8. k : |r|
9. m : ℤ
10. 0 < m
11. n : ℕ
12. f : PowerSeries(X;r)
13. ∀[n:ℕ]. ((f bag-rep(n;x)) = if (n =z m - 1) then k ↑r (m - 1) else 0 fi  ∈ |r|)
14. ¬(n = 0 ∈ ℤ)
15. x@0 : bag(X) × bag(X)
16. x@0 ↓∈ bag-partitions(eq;bag-rep(n;x))
⊢ (x@0 = <bag-rep(n - 1;x), bag-rep(1;x)> ∈ (bag(X) × bag(X)))
∨ ((* f[fst(x@0)] ((k)*atom(x)+atom(y))[snd(x@0)]) = 0 ∈ |r|)

2
1. X : Type
2. valueall-type(X)
3. eq : EqDecider(X)
4. x : X
5. y : X
6. ¬(x = y ∈ X)
7. r : CRng
8. k : |r|
9. m : ℤ
10. 0 < m
11. n : ℕ
12. f : PowerSeries(X;r)
13. ∀[n:ℕ]. ((f bag-rep(n;x)) = if (n =z m - 1) then k ↑r (m - 1) else 0 fi  ∈ |r|)
14. ¬(n = 0 ∈ ℤ)
⊢ bag-no-repeats(bag(X) × bag(X);bag-partitions(eq;bag-rep(n;x)))

3
1. X : Type
2. valueall-type(X)
3. eq : EqDecider(X)
4. x : X
5. y : X
6. ¬(x = y ∈ X)
7. r : CRng
8. k : |r|
9. m : ℤ
10. 0 < m
11. n : ℕ
12. f : PowerSeries(X;r)
13. ∀[n:ℕ]. ((f bag-rep(n;x)) = if (n =z m - 1) then k ↑r (m - 1) else 0 fi  ∈ |r|)
14. ¬(n = 0 ∈ ℤ)
15. bag-no-repeats(bag(X) × bag(X);bag-partitions(eq;bag-rep(n;x)))
⊢ <bag-rep(n - 1;x), bag-rep(1;x)> ↓∈ bag-partitions(eq;bag-rep(n;x))

4
1. X : Type
2. valueall-type(X)
3. eq : EqDecider(X)
4. x : X
5. y : X
6. ¬(x = y ∈ X)
7. r : CRng
8. k : |r|
9. m : ℤ
10. 0 < m
11. n : ℕ
12. f : PowerSeries(X;r)
13. ∀[n:ℕ]. ((f bag-rep(n;x)) = if (n =z m - 1) then k ↑r (m - 1) else 0 fi  ∈ |r|)
14. ¬(n = 0 ∈ ℤ)
15. Σ(x@0∈bag-partitions(eq;bag-rep(n;x))). * f[fst(x@0)] ((k)*atom(x)+atom(y))[snd(x@0)]
= (* f[fst(<bag-rep(n - 1;x), bag-rep(1;x)>)] ((k)*atom(x)+atom(y))[snd(<bag-rep(n - 1;x), bag-rep(1;x)>)])
∈ |r|
⊢ Σ(p∈bag-partitions(eq;bag-rep(n;x))). * (f (fst(p))) (((k)*atom(x)+atom(y)) (snd(p)))
= if (n =z m) then k ↑r m else 0 fi 
∈ |r|

---

Latex:

---

Latex:

1.  X  :  Type
2.  valueall-type(X)
3.  eq  :  EqDecider(X)
4.  x  :  X
5.  y  :  X
6.  \mneg{}(x  =  y)
7.  r  :  CRng
8.  k  :  |r|
9.  m  :  \mBbbZ{}
10.  0  <  m
11.  n  :  \mBbbN{}
12.  f  :  PowerSeries(X;r)
13.  \mforall{}[n:\mBbbN{}].  ((f  bag-rep(n;x))  =  if  (n  =\msubz{}  m  -  1)  then  k  \muparrow{}r  (m  -  1)  else  0  fi  )
14.  \mneg{}(n  =  0)
\mvdash{}  \mSigma{}(p\mmember{}bag-partitions(eq;bag-rep(n;x))).  *  (f  (fst(p)))  (((k)*atom(x)+atom(y))  (snd(p)))
=  if  (n  =\msubz{}  m)  then  k  \muparrow{}r  m  else  0  fi 


By

---

Latex:
(InstLemma  `bag-summation-single-non-zero-no-repeats` 
    [\mkleeneopen{}bag(X)  \mtimes{}  bag(X)\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}|r|\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}product-deq(bag(X);bag(X);bag-deq(eq);bag-deq(eq))\mkleeneclose{}
    ;\mkleeneopen{}+r\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}0\mkleeneclose{}
    ;  \mkleeneopen{}bag-partitions(eq;bag-rep(n;x))\mkleeneclose{}
    ;  \mkleeneopen{}\mlambda{}\msubtwo{}p.*  f[fst(p)]  ((k)*atom(x)+atom(y))[snd(p)]\mkleeneclose{}
    ;  \mkleeneopen{}<bag-rep(n  -  1;x),  bag-rep(1;x)>\mkleeneclose{}]\mcdot{}
  THENA  (Auto  THEN  Try  ((RepeatFor  2  (DVar  `r')  THEN  Complete  (Auto))))
  )\mcdot{}

---

Home Index