---

Step * 2 1 1 1 1 2 of Lemma fps-geometric-slice_lemma2


1. X : Type
2. valueall-type(X)
3. eq : EqDecider(X)
4. r : CRng
5. n : ℕ+
6. m : ℕn
7. ¬(m = 0 ∈ ℤ)
8. g : PowerSeries(X;r)
9. g = [g]_n ∈ PowerSeries(X;r)
10. IsRing(PowerSeries(X;r);λf,g. (f+g);0;λf.-(f);λf,g. (f*g);1)
11. (upto(m + 1) ∈ bag(ℤ)) ∧ IsMonoid(PowerSeries(X;r);λk,y. (k+y);0) ∧ Comm(PowerSeries(X;r);λk,y. (k+y))
⊢ fps-summation(r;[k∈upto(m + 1)|(k =z 0)];k.([(1-g)]_k*[(1÷(1-g))]_m - k))
= fps-summation(r;upto(m + 1);k.([(1-g)]_k*[(1÷(1-g))]_m - k))
∈ PowerSeries(X;r)
BY
{ (Unfold `fps-summation` 0
   THEN (InstLemma `bag-summation-filter` [⌜ℤ⌝]⋅ THENA Auto)
   THEN (RWO "-1" 0 THENA (Try (Fold `fps-summation` 0) THEN Auto))
   THEN Using [`T',⌜ℤ⌝] (BLemma `bag-summation-equal`)⋅
   THEN Auto
   THEN AutoSplit)⋅ }

1
1. X : Type
2. valueall-type(X)
3. eq : EqDecider(X)
4. r : CRng
5. n : ℕ+
6. m : ℕn
7. ¬(m = 0 ∈ ℤ)
8. g : PowerSeries(X;r)
9. g = [g]_n ∈ PowerSeries(X;r)
10. IsRing(PowerSeries(X;r);λf,g. (f+g);0;λf.-(f);λf,g. (f*g);1)
11. upto(m + 1) ∈ bag(ℤ)
12. IsMonoid(PowerSeries(X;r);λk,y. (k+y);0)
13. Comm(PowerSeries(X;r);λk,y. (k+y))
14. ∀[R:Type]. ∀[add:R ⟶ R ⟶ R]. ∀[zero:R]. ∀[b:bag(ℤ)]. ∀[p:ℤ ⟶ 𝔹]. ∀[f:ℤ ⟶ R].
      Σ(x∈[x∈b|p[x]]). f[x] = Σ(x∈b). if p[x] then f[x] else zero fi  ∈ R supposing IsMonoid(R;add;zero) ∧ Comm(R;add)
15. k : ℤ
16. k ≠ 0
17. k ↓∈ upto(m + 1)
⊢ 0 = ([(1-g)]_k*[(1÷(1-g))]_m - k) ∈ PowerSeries(X;r)

---

Latex:

---

Latex:

1.  X  :  Type
2.  valueall-type(X)
3.  eq  :  EqDecider(X)
4.  r  :  CRng
5.  n  :  \mBbbN{}\msupplus{}
6.  m  :  \mBbbN{}n
7.  \mneg{}(m  =  0)
8.  g  :  PowerSeries(X;r)
9.  g  =  [g]\_n
10.  IsRing(PowerSeries(X;r);\mlambda{}f,g.  (f+g);0;\mlambda{}f.-(f);\mlambda{}f,g.  (f*g);1)
11.  (upto(m  +  1)  \mmember{}  bag(\mBbbZ{}))
\mwedge{}  IsMonoid(PowerSeries(X;r);\mlambda{}k,y.  (k+y);0)
\mwedge{}  Comm(PowerSeries(X;r);\mlambda{}k,y.  (k+y))
\mvdash{}  fps-summation(r;[k\mmember{}upto(m  +  1)|(k  =\msubz{}  0)];k.([(1-g)]\_k*[(1\mdiv{}(1-g))]\_m  -  k))
=  fps-summation(r;upto(m  +  1);k.([(1-g)]\_k*[(1\mdiv{}(1-g))]\_m  -  k))


By

---

Latex:
(Unfold  `fps-summation`  0
  THEN  (InstLemma  `bag-summation-filter`  [\mkleeneopen{}\mBbbZ{}\mkleeneclose{}]\mcdot{}  THENA  Auto)
  THEN  (RWO  "-1"  0  THENA  (Try  (Fold  `fps-summation`  0)  THEN  Auto))
  THEN  Using  [`T',\mkleeneopen{}\mBbbZ{}\mkleeneclose{}]  (BLemma  `bag-summation-equal`)\mcdot{}
  THEN  Auto
  THEN  AutoSplit)\mcdot{}

---

Home Index