---

Step * 1 of Lemma fps-geometric-slice


1. X : Type
2. valueall-type(X)
3. eq : EqDecider(X)
4. r : CRng
5. m : ℕ
6. ∀m:ℕm
     ∀[n:ℕ+]. ∀[g:PowerSeries(X;r)].
       [(1÷(1-g))]_m = if (m rem n =z 0) then (g)^(m ÷ n) else 0 fi  ∈ PowerSeries(X;r) 
       supposing g = [g]_n ∈ PowerSeries(X;r)
7. n : ℕ+
8. g : PowerSeries(X;r)
9. g = [g]_n ∈ PowerSeries(X;r)
10. m < n
⊢ [(1÷(1-g))]_m = if (m rem n =z 0) then (g)^(m ÷ n) else 0 fi  ∈ PowerSeries(X;r)
BY
{ xxx((InstLemma `fps-geometric-slice_lemma2` [⌜X⌝;⌜eq⌝;⌜r⌝;⌜n⌝]⋅ THENA Auto)
      THEN RWO "-1" 0
      THEN Auto
      THEN Assert ⌜((m rem n) = m ∈ ℤ) ∧ ((m ÷ n) = 0 ∈ ℤ)⌝⋅)xxx }

1
.....assertion..... 
1. X : Type
2. valueall-type(X)
3. eq : EqDecider(X)
4. r : CRng
5. m : ℕ
6. ∀m:ℕm
     ∀[n:ℕ+]. ∀[g:PowerSeries(X;r)].
       [(1÷(1-g))]_m = if (m rem n =z 0) then (g)^(m ÷ n) else 0 fi  ∈ PowerSeries(X;r) 
       supposing g = [g]_n ∈ PowerSeries(X;r)
7. n : ℕ+
8. g : PowerSeries(X;r)
9. g = [g]_n ∈ PowerSeries(X;r)
10. m < n
11. ∀[m:ℕn]. ∀[g:PowerSeries(X;r)].
      [(1÷(1-g))]_m = if (m =z 0) then 1 else 0 fi  ∈ PowerSeries(X;r) supposing g = [g]_n ∈ PowerSeries(X;r)
⊢ ((m rem n) = m ∈ ℤ) ∧ ((m ÷ n) = 0 ∈ ℤ)

2
1. X : Type
2. valueall-type(X)
3. eq : EqDecider(X)
4. r : CRng
5. m : ℕ
6. ∀m:ℕm
     ∀[n:ℕ+]. ∀[g:PowerSeries(X;r)].
       [(1÷(1-g))]_m = if (m rem n =z 0) then (g)^(m ÷ n) else 0 fi  ∈ PowerSeries(X;r) 
       supposing g = [g]_n ∈ PowerSeries(X;r)
7. n : ℕ+
8. g : PowerSeries(X;r)
9. g = [g]_n ∈ PowerSeries(X;r)
10. m < n
11. ∀[m:ℕn]. ∀[g:PowerSeries(X;r)].
      [(1÷(1-g))]_m = if (m =z 0) then 1 else 0 fi  ∈ PowerSeries(X;r) supposing g = [g]_n ∈ PowerSeries(X;r)
12. ((m rem n) = m ∈ ℤ) ∧ ((m ÷ n) = 0 ∈ ℤ)
⊢ if (m =z 0) then 1 else 0 fi  = if (m rem n =z 0) then (g)^(m ÷ n) else 0 fi  ∈ PowerSeries(X;r)

---

Latex:

---

Latex:

1.  X  :  Type
2.  valueall-type(X)
3.  eq  :  EqDecider(X)
4.  r  :  CRng
5.  m  :  \mBbbN{}
6.  \mforall{}m:\mBbbN{}m
          \mforall{}[n:\mBbbN{}\msupplus{}].  \mforall{}[g:PowerSeries(X;r)].
              [(1\mdiv{}(1-g))]\_m  =  if  (m  rem  n  =\msubz{}  0)  then  (g)\^{}(m  \mdiv{}  n)  else  0  fi    supposing  g  =  [g]\_n
7.  n  :  \mBbbN{}\msupplus{}
8.  g  :  PowerSeries(X;r)
9.  g  =  [g]\_n
10.  m  <  n
\mvdash{}  [(1\mdiv{}(1-g))]\_m  =  if  (m  rem  n  =\msubz{}  0)  then  (g)\^{}(m  \mdiv{}  n)  else  0  fi 


By

---

Latex:
xxx((InstLemma  `fps-geometric-slice\_lemma2`  [\mkleeneopen{}X\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}eq\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}r\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}n\mkleeneclose{}]\mcdot{}  THENA  Auto)
        THEN  RWO  "-1"  0
        THEN  Auto
        THEN  Assert  \mkleeneopen{}((m  rem  n)  =  m)  \mwedge{}  ((m  \mdiv{}  n)  =  0)\mkleeneclose{}\mcdot{})xxx

---

Home Index